Упр.846 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 846. Докажите, что разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9. Делится ли эта разность на 27?

Пусть цифры трёхзначного числа — $$a, b, c$$. Тогда само число можно записать так:

$$\overline{abc}=100a+10b+c,$$

а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — так:

$$\overline{cba}=100c+10b+a.$$

Найдём разность:

$$ \overline{abc}-\overline{cba} =(100a+10b+c)-(100c+10b+a) =99a-99c =99(a-c). $$

Так как $$99=9\cdot 11,$$ то разность всегда делится на $$9$$.

Проверим делимость на $$27$$. Для этого нужно, чтобы число $$99(a-c)$$ делилось на $$27$$. Поскольку $$99=9\cdot 11,$$ достаточно, чтобы $$a-c$$ делилось на $$3$$.

Значит, разность делится на $$27$$ тогда и только тогда, когда $$a-c=3$$ или $$a-c=6$$.

Ответ

Разность всегда делится на $$9$$. На $$27$$ она делится, если $$a-c=3$$ или $$a-c=6$$.