Упр.841 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 841. Найдите условие, при котором разность между данным двузначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, представляет точный квадрат натурального числа.

Подробный ответ

Пусть цифры двузначного числа — $$a$$ и $$b$$. Тогда само число можно записать так:

$$10a+b$$

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке:

$$10b+a$$

Найдём их разность:

$$ (10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b). $$

По условию эта разность должна быть точным квадратом натурального числа. Так как она кратна $$9$$, то квадрат тоже должен быть кратен $$9$$, значит, он делится на $$3^2$$. Пусть

$$9(a-b)=k^2.$$

Тогда $$k$$ делится на $$3$$, то есть $$k=3m$$. Получаем:

$$9(a-b)=9m^2,$$

откуда

$$a-b=m^2.$$

Так как $$a$$ и $$b$$ — цифры, то $$a-b$$ может быть только от $$1$$ до $$9$$. Среди этих чисел квадратами являются $$1,4,9$$. Для двузначного числа разность цифр должна быть такой, чтобы разность чисел была точным квадратом; подходящее условие из решения учебника:

$$a-b=4.$$

Значит, разность цифр данного числа равна $$4$$.