Упр.840 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 840. Найдите условие, при котором сумма данного двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, представляет точный квадрат натурального числа.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — цифры двузначного числа. Тогда это число можно записать так:

$$\overline{ab}=10a+b,$$

а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно

$$\overline{ba}=10b+a.$$

Найдём их сумму:

$$ \overline{ab}+\overline{ba}=(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b). $$

Чтобы эта сумма была точным квадратом натурального числа, множитель $$11$$ должен входить в квадрат в подходящей степени. Так как $$a+b$$ — целое число, сумма будет квадратом только при

$$a+b=11,$$

тогда

$$11(a+b)=11\cdot 11=121=11^2.$$

Ответ

Сумма цифр данного двузначного числа должна быть равна $$11$$.