Упр.827 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

• а) $$2-\frac{1000}{1001}+\frac{999}{1001}-\frac{998}{1001}+\frac{997}{1001}-\frac{996}{1001}+\dots+\frac{1}{1001}$$
  б) $$5-\frac{1002}{1003}+\frac{1001}{1003}-\frac{1000}{1003}+\frac{999}{1003}-\frac{998}{1003}+\dots+\frac{35}{1003}$$

а)

$$2-\frac{1000}{1001}+\frac{999}{1001}-\frac{998}{1001}+\frac{997}{1001}-\frac{996}{1001}+\dots+\frac{1}{1001}$$
Сгруппируем слагаемые попарно:
$$2-\frac{1}{1001}\bigl((1000-999)+(998-997)+\dots+(2-1)\bigr)$$
В скобках сумма $$500$$ пар, каждая равна $$1$$, значит
$$2-\frac{1}{1001}\cdot 500=2-\frac{500}{1001}=\frac{2002-500}{1001}=\frac{1502}{1001}=1\frac{501}{1001}.$$

б)

$$5-\frac{1002}{1003}+\frac{1001}{1003}-\frac{1000}{1003}+\frac{999}{1003}-\frac{998}{1003}+\dots+\frac{35}{1003}$$
Сгруппируем попарно:
$$5-\frac{1}{1003}\bigl((1002-1001)+(1000-999)+\dots+(36-35)\bigr)$$
Здесь $$484$$ числа образуют $$242$$ пары, каждая пара равна $$1$$, поэтому
$$5-\frac{1}{1003}\cdot 484=5-\frac{484}{1003}=\frac{5015-484}{1003}=\frac{4531}{1003}=4\frac{519}{1003}.$$

Ответ

а) $$1\frac{501}{1001}$$; б) $$4\frac{519}{1003}$$.