Упр.812 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Пусть $$a, b, c$$ — натуральные числа. Определите, истинно или ложно высказывание: а) $$(a\text{ кратно }c\text{ и }b\text{ кратно }c)?(a+b\text{ кратно }c);$$ б) $$(a\text{ кратно }c\text{ и }b\text{ не кратно }c)?(a+b\text{ не кратно }c);$$ в) $$(a+b\text{ кратно }c)?(a\text{ кратно }c\text{ и }b\text{ кратно }c);$$ г) $$(a\text{ не кратно }c\text{ и }b\text{ не кратно }c)?(a+b\text{ не кратно }c);$$ д) $$(a\text{ кратно }c\text{ или }b\text{ кратно }c)?(ab\text{ кратно }c).$$
а) Если $$a$$ кратно $$c$$ и $$b$$ кратно $$c$$, то существуют натуральные $$k$$ и $$n$$ такие, что
$$a=ck,\quad b=cn.$$
Тогда
$$a+b=ck+cn=c(k+n),$$
значит, $$a+b$$ кратно $$c$$. Высказывание истинно.
б) Если $$a$$ кратно $$c$$, а $$b$$ не кратно $$c$$, то сумма $$a+b$$ не обязана быть кратной $$c$$. Например, при
$$a=2,\quad b=3,\quad c=5$$
число $$a$$ не кратно $$c$$, поэтому удобнее взять другой пример: пусть
$$a=5,\quad b=3,\quad c=5.$$
Тогда $$a$$ кратно $$c$$, $$b$$ не кратно $$c$$, а
$$a+b=8$$
не кратно $$5$$. Высказывание истинно.
в) Из того, что $$a+b$$ кратно $$c$$, не следует, что и $$a$$, и $$b$$ кратны $$c$$. Например,
$$a=2,\quad b=3,\quad c=5,$$
тогда
$$a+b=2+3=5,$$
то есть $$a+b$$ кратно $$5$$, но $$2$$ и $$3$$ не кратны $$5$$. Высказывание ложно.
г) Если $$a$$ и $$b$$ не кратны $$c$$, то сумма $$a+b$$ может быть кратной $$c$$. Например,
$$a=2,\quad b=3,\quad c=5,$$
тогда $$a$$ и $$b$$ не кратны $$5$$, но
$$a+b=5$$
кратно $$5$$. Высказывание ложно.
д) Если хотя бы одно из чисел $$a$$ или $$b$$ кратно $$c$$, то произведение $$ab$$ кратно $$c$$. Действительно, если
$$a=ck,$$
то
$$ab=(ck)b=c(kb),$$
значит, $$ab$$ кратно $$c$$. Аналогично, если $$b$$ кратно $$c$$. Высказывание истинно.
Ответ
а) истинно; б) истинно; в) ложно; г) ложно; д) истинно.
