Упр.8 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

2) Упростите выражение (va-1)/(va+1)+(va+1)/(va-1).
3) Решите систему уравнений графическим способом:
{(2x+y=1, x-2y=8).
4) Скорость товарного поезда на 12 км/ч меньше скорости пассажирского поезда. Определите время, которое понадобится товарному поезду для прохождения участка длиной 52 км, если пассажирский поезд проходит такой участок быстрее товарного на 18 мин.

Подробный ответ

$$\frac{(2{,}2+1{,}6):1{,}9}{(2{,}4-1{,}3):4{,}3} =\frac{3{,}8:1{,}9}{1{,}1:4{,}3} =\frac{38/19}{11/43} =\frac{38}{19}\cdot\frac{43}{11} =2\cdot\frac{43}{11} =\frac{86}{11} =7\frac{9}{11}.$$
$$\frac{\sqrt a-1}{\sqrt a+1}+\frac{\sqrt a+1}{\sqrt a-1} =\frac{(\sqrt a-1)^2+(\sqrt a+1)^2}{(\sqrt a+1)(\sqrt a-1)}.$$
$$=\frac{a-2\sqrt a+1+a+2\sqrt a+1}{a-1} =\frac{2a+2}{a-1} =\frac{2(a+1)}{a-1}.$$
При этом $$a\ge 0,\ a\ne 1.$$
Запишем уравнения прямых:
$$2x+y=1 \Rightarrow y=1-2x,$$
$$x-2y=8 \Rightarrow y=\frac{x}{2}-4.$$
Найдём точку пересечения:
$$1-2x=\frac{x}{2}-4,$$
$$5=\frac{5x}{2},$$
$$x=2.$$
Тогда
$$y=1-2\cdot 2=-3.$$
Пусть скорость товарного поезда равна $$x$$ км/ч, тогда скорость пассажирского поезда $$x+12$$ км/ч.
Время движения товарного поезда обозначим через $$t$$ ч, тогда для пассажирского поезда время равно $$t-\frac{18}{60}=t-0{,}3$$ ч.
Так как оба поезда проходят участок длиной 52 км, получаем систему:
$$xt=52,$$
$$(x+12)\left(t-0{,}3\right)=52.$$
Из первого уравнения $$x=\frac{52}{t}$$. Подставим во второе:
$$\left(\frac{52}{t}+12\right)\left(t-0{,}3\right)=52.$$
После преобразований:
$$52-15{,}6+12t-\frac{15{,}6}{t}=52,$$
$$12t-\frac{15{,}6}{t}=15{,}6,$$
$$12t^2-15{,}6t-15{,}6=0,$$
$$10t^2-13t-13=0.$$
$$D=(-13)^2-4\cdot 10\cdot(-13)=169+520=689,$$
$$t=\frac{13\pm\sqrt{689}}{20}.$$
Подходит только положительный корень:
$$t=\frac{13+\sqrt{689}}{20}\approx 1{,}18\text{ ч}.$$
Это примерно $$1\text{ ч }11\text{ мин}.$$