Упр.772 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$C_n^k=C_n^{n-k}$$. Вычислите: а) $$C_{10}^{9}$$; б) $$C_{10}^{8}$$; в) $$C_{12}^{10}$$; г) $$C_{12}^{11}$$; д) $$C_{200}^{199}$$; е) $$C_{1998}^{1997}$$.

Докажем равенство сочетаний:

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Тогда
$$C_n^{\,n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\bigl(n-(n-k)\bigr)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=C_n^k.$$
Следовательно,
$$C_n^k=C_n^{\,n-k}.$$

Вычислим значения, используя это свойство:

$$C_{10}^9=C_{10}^1=10$$
$$C_{10}^8=C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$$
$$C_{12}^{10}=C_{12}^2=\frac{12\cdot 11}{2}=66$$
$$C_{12}^{11}=C_{12}^1=12$$
$$C_{200}^{199}=C_{200}^1=200$$
$$C_{1998}^{1997}=C_{1998}^1=1998$$

Ответ

$$C_n^k=C_n^{\,n-k}; \quad a)\ 10;\ b)\ 45;\ c)\ 66;\ d)\ 12;\ e)\ 200;\ f)\ 1998.$$