Упр.772 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) C_10^9; б) C_10^8; в) C_12^10;
г) C_12^11; д) C_200^199; е) C_1998^1997.

Докажем равенство сочетаний:

$$ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$
Тогда
$$ C_n^{\,n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\bigl(n-(n-k)\bigr)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=C_n^k. $$
Следовательно,
$$ C_n^k=C_n^{\,n-k}. $$

Вычислим значения, используя это свойство:

$$ C_{10}^9=C_{10}^1=10 $$
$$ C_{10}^8=C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45 $$
$$ C_{12}^{10}=C_{12}^2=\frac{12\cdot 11}{2}=66 $$
$$ C_{12}^{11}=C_{12}^1=12 $$
$$ C_{200}^{199}=C_{200}^1=200 $$
$$ C_{1998}^{1997}=C_{1998}^1=1998 $$

Ответ

$$ C_n^k=C_n^{\,n-k}; \quad a)\ 10;\ b)\ 45;\ c)\ 66;\ d)\ 12;\ e)\ 200;\ f)\ 1998. $$