Упр.771 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите формулу: $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

По определению сочетаний

$$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}.$$

А число размещений равно

$$A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1).$$

Тогда

$$C_n^k=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.$$

Домножим и разделим числитель на $$(n-k)!$$:

$$C_n^k=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}.$$

В числителе получаем произведение всех натуральных чисел от $$1$$ до $$n$$:

$$n(n-1)\cdots(n-k+1)(n-k)! = n!.$$

Следовательно,

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Ответ

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$