Упр.768 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) Сколько существует счастливых билетов, у которых сумма всех цифр равна 0; 2; 4; 6; 8?
б) Сколько всего счастливых билетов у кассира?

Подробный ответ

Обозначим сумму первых трёх цифр билета через $$s$$. Тогда по условию сумма последних трёх цифр тоже равна $$s$$, а сумма всех цифр равна $$2s$$.

Рассмотрим все возможные значения суммы всех цифр: $$0, 2, 4, 6, 8$$.

Если сумма всех цифр равна $$0$$, то обе тройки цифр равны $$000$$. Получаем один билет.
Если сумма всех цифр равна $$2$$, то сумма каждой тройки равна $$1$$. Для одной тройки возможны только числа $$001, 010, 100$$, то есть $$3$$ варианта. Тогда всего:
$$3 \cdot 3 = 9.$$
Если сумма всех цифр равна $$4$$, то сумма каждой тройки равна $$2$$. Для одной тройки возможны $$6$$ вариантов:
$$110,\ 101,\ 011,\ 002,\ 020,\ 200.$$
Тогда всего:
$$6 \cdot 6 = 36.$$
Если сумма всех цифр равна $$6$$, то сумма каждой тройки равна $$3$$. Для одной тройки возможны $$10$$ вариантов, значит:
$$10 \cdot 10 = 100.$$
Если сумма всех цифр равна $$8$$, то сумма каждой тройки равна $$4$$. Для одной тройки возможны $$15$$ вариантов, значит:
$$15 \cdot 15 = 225.$$

Теперь найдём общее число счастливых билетов. Сумма цифр одной тройки может принимать значения от $$0$$ до $$27$$, но для счастливого билета нужно, чтобы суммы двух троек совпадали. Число троек с одинаковой суммой для значений от $$0$$ до $$27$$ симметрично, поэтому общее число счастливых билетов равно сумме квадратов числа троек для каждой возможной суммы.

Для трёх цифр количество наборов с суммой от $$0$$ до $$27$$ даёт в сумме:

$$1^2+3^2+6^2+10^2+15^2+21^2+25^2+27^2+\cdots$$

Удобнее воспользоваться известным результатом для трёх цифр: число троек с суммой $$s$$ равно числу троек с суммой $$27-s$$, а суммарно получается

$$1000.$$

Тогда число счастливых билетов равно

$$1000.$$