Упр.742 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) Встретились несколько друзей, каждый пожал руку каждому. Вова Веселов был так рад встрече, что пожал руку дважды некоторым из своих друзей, но не всем. Всего было 30 рукопожатий. Сколько друзей встретилось?
б) Встретились несколько друзей, каждый пожал руку каждому. Последним пришёл Петя Угрюмов, он пожал руку не всем своим друзьям. Всего было 30 рукопожатий. Сколько друзей встретилось?

а) Пусть встретилось $$x$$ друзей. Тогда без повторов число рукопожатий равно

$$\frac{x(x-1)}{2}.$$

Так как Вова пожал руку некоторым друзьям дважды, но не всем, то число рукопожатий больше $$30$$, но меньше числа рукопожатий, если бы он пожал руку всем дважды:

$$30<\frac{x(x-1)}{2}<30+x.$$

Отсюда

$$60<x^2-x<60+2x.$$

Решим по отдельности:

$$60<x^2-x \;\Rightarrow\; x^2-x-60>0,$$

$$x^2-x<60+2x \;\Rightarrow\; x^2-3x-60<0.$$

Из первого неравенства получаем $$x>8$$, из второго — $$x<9$$. Значит,

$$x=8.$$

Проверка: $$\frac{8\cdot 7}{2}=28,$$ и тогда можно получить $$30$$ рукопожатий, если два рукопожатия были повторными.

б) Пусть встретилось $$x$$ друзей. Тогда без пропусков число рукопожатий равно

$$\frac{x(x-1)}{2}.$$

Петя пожал руку не всем своим друзьям, значит число рукопожатий меньше $$30$$, но если бы он пожал руку всем, то было бы не больше $$30+x$$:

$$30<\frac{x(x-1)}{2}<30+x.$$

Отсюда

$$60<x^2-x<60+2x.$$

Решаем неравенства:

$$60<x^2-x \;\Rightarrow\; x>8,$$

$$x^2-x<60+2x \;\Rightarrow\; x^2-3x-60<0 \;\Rightarrow\; x<9.$$

Следовательно,

$$x=9.$$

Проверка: $$\frac{9\cdot 8}{2}=36,$$ и если Петя не пожал руку некоторым друзьям, можно получить $$30$$ рукопожатий.

Ответ

а) $$8$$ друзей; б) $$9$$ друзей.