Упр.732 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится;
б) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) в k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в k^2 раз.
Обозначим дисперсию совокупности $$a_1,a_2,\dots,a_n$$ через
$$D=\frac{(a_1-\overline a)^2+(a_2-\overline a)^2+\cdots+(a_n-\overline a)^2}{n},$$
где $$\overline a=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$ — среднее арифметическое.
Пусть ко всем значениям прибавили одно и то же число $$b$$. Тогда новая совокупность имеет вид
$$a_1+b,\ a_2+b,\ \dots,\ a_n+b.$$
Её среднее арифметическое равно
$$\overline a’=\frac{(a_1+b)+(a_2+b)+\cdots+(a_n+b)}{n}=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}+b=\overline a+b.$$
Отклонения от нового среднего:
$$ (a_i+b)-\overline a’=(a_i+b)-(\overline a+b)=a_i-\overline a. $$
Значит, квадраты отклонений не изменятся, а следовательно, не изменится и дисперсия:
$$D’=\frac{(a_1-\overline a)^2+\cdots+(a_n-\overline a)^2}{n}=D.$$
Пусть теперь все значения умножили на $$k$$. Тогда новая совокупность:
$$ka_1,\ ka_2,\ \dots,\ ka_n.$$
Её среднее арифметическое:
$$\overline a’=\frac{ka_1+ka_2+\cdots+ka_n}{n}=k\overline a.$$
Отклонения от нового среднего:
$$ka_i-\overline a’=ka_i-k\overline a=k(a_i-\overline a).$$
Тогда квадраты отклонений увеличатся в $$k^2$$ раз:
$$\bigl(ka_i-\overline a’\bigr)^2=k^2(a_i-\overline a)^2.$$
Следовательно, новая дисперсия равна
$$D’=\frac{k^2(a_1-\overline a)^2+\cdots+k^2(a_n-\overline a)^2}{n}=k^2D.$$
Ответ
а) При прибавлении или вычитании одной и той же постоянной величины дисперсия не изменяется.
б) При умножении всех значений на $$k$$ дисперсия изменяется в $$k^2$$ раз: $$D’=k^2D$$.
