Упр.7 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Решите задачу в общем виде, проведите расчёты для р=150.

При вкладе на 6 месяцев под $$x\%$$ годовых за полгода сумма увеличится в $$1+\frac{x}{200}$$ раза. Тогда при двукратном вложении получим

$$S_2=\left(1+\frac{x}{200}\right)^2a.$$

Для вклада на 1 год под $$p\%$$ годовых сумма станет равной

$$S=\left(1+\frac{p}{100}\right)a.$$

Требуется, чтобы двукратное вложение на 6 месяцев приносило меньший доход, чем вклад на 1 год:

$$\left(1+\frac{x}{200}\right)^2a<\left(1+\frac{p}{100}\right)a.$$

Так как $$a>0$$, делим на $$a$$:

$$\left(1+\frac{x}{200}\right)^2<1+\frac{p}{100}.$$

Раскроем скобки:

$$1+\frac{x}{100}+\frac{x^2}{40000}<1+\frac{p}{100}.$$

Умножим на $$40000$$:

$$x^2+400x-400p<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=400^2+4\cdot 400p=1600(100+p),$$

$$x_{1,2}=\frac{-400\pm 40\sqrt{100+p}}{2}=-200\pm 20\sqrt{100+p}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$-200-20\sqrt{100+p}<x<-200+20\sqrt{100+p}.$$

Следовательно, наибольшее целое $$x$$:

$$x_{\max}=\left\lfloor -200+20\sqrt{100+p}\right\rfloor.$$

Теперь рассмотрим вклад на 3 месяца под $$y\%$$ годовых. За 3 месяца сумма увеличится в $$1+\frac{y}{400}$$ раза, поэтому при двукратном вложении

$$S_2=\left(1+\frac{y}{400}\right)^2a.$$

Чтобы этот доход был меньше, чем доход от вклада на 6 месяцев под $$x\%$$ годовых, нужно

$$\left(1+\frac{y}{400}\right)^2a<\left(1+\frac{x}{200}\right)a.$$

После сокращения на $$a>0$$ получаем

$$\left(1+\frac{y}{400}\right)^2<1+\frac{x}{200}.$$

Раскроем скобки:

$$1+\frac{y}{200}+\frac{y^2}{160000}<1+\frac{x}{200}.$$

Умножим на $$160000$$:

$$y^2+800y-800x<0.$$

Корни этого трёхчлена:

$$D=800^2+4\cdot 800x=1600(400+2x),$$

$$y_{1,2}=\frac{-800\pm 40\sqrt{400+2x}}{2}=-400\pm 20\sqrt{400+2x}.$$

Значит,

$$-400-20\sqrt{400+2x}<y<-400+20\sqrt{400+2x},$$

и наибольшее целое $$y$$ равно

$$y_{\max}=\left\lfloor -400+20\sqrt{400+2x}\right\rfloor.$$

При $$p=150$$:

$$x_{\max}=\left\lfloor -200+20\sqrt{250}\right\rfloor=\left\lfloor -200+100\sqrt{10}\right\rfloor=116.$$

Тогда

$$y_{\max}=\left\lfloor -400+20\sqrt{400+2\cdot 116}\right\rfloor=\left\lfloor -400+20\sqrt{632}\right\rfloor=102.$$

Ответ

$$x_{\max}=\left\lfloor -200+20\sqrt{100+p}\right\rfloor,\qquad y_{\max}=\left\lfloor -400+20\sqrt{400+2x}\right\rfloor.$$

При $$p=150$$: $$x=116,\ y=102.$$