Упр.681 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) sin a, cos a, tg 2a и ctg 2a, если tg а/2 = 3;
б) sin2a, cos2a, tg2a и ctg2a, если tga = 1/7;
в) sin4a, если tga = 3.

1. а) Если $$\tg \frac{a}{2}=3,$$ то по формуле половинного угла

   $$\cos a=\frac{1-\tg^2 \frac{a}{2}}{1+\tg^2 \frac{a}{2}}=\frac{1-9}{1+9}=-\frac{8}{10}=-\frac45.$$

   Тогда

   $$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.$$

   Следовательно,

   $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34,$$

   $$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}=\frac{2\cdot\left(-\frac34\right)}{1-\left(-\frac34\right)^2}=-\frac{24}{7},$$

   $$\ctg 2a=\frac{1}{\tg 2a}=-\frac{7}{24}.$$

2. б) Если $$\tg a=\frac17,$$ то

   $$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}=\frac{2\cdot \frac17}{1-\frac{1}{49}}=\frac{7}{24}.$$

   Тогда

   $$\ctg 2a=\frac{1}{\tg 2a}=\frac{24}{7}.$$

   Найдём $$\cos 2a$$:

   $$\cos 2a=\frac{1-\tg^2 a}{1+\tg^2 a}=\frac{1-\frac{1}{49}}{1+\frac{1}{49}}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}.$$

   Теперь

   $$\sin 2a=\tg 2a\cdot \cos 2a=\frac{7}{24}\cdot \frac{24}{25}=\frac{7}{25}.$$

3. в) Если $$\tg a=3,$$ то

   $$\cos a=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}}=\frac{1}{\sqrt{10}}, \qquad \sin a=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

   Используем формулу

   $$\sin 4a=4\sin a\cos a\left(\cos^2 a-\sin^2 a\right).$$

   Тогда

   $$\cos^2 a=\frac{1}{10}, \qquad \sin^2 a=\frac{9}{10},$$

   $$\sin 4a=4\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\left(\frac{1}{10}-\frac{9}{10}\right)=\frac{12}{10}\cdot \left(-\frac{8}{10}\right)=-\frac{24}{25}.$$

Ответ

а) $$\sin a=\frac35,\ \cos a=-\frac45,\ \tg 2a=-\frac{24}{7},\ \ctg 2a=-\frac{7}{24};$$

б) $$\sin 2a=\frac{7}{25},\ \cos 2a=\frac{24}{25},\ \tg 2a=\frac{7}{24},\ \ctg 2a=\frac{24}{7};$$

в) $$\sin 4a=-\frac{24}{25}.$$