Упр.68 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) |x-3| > x+1
б) |x+3| > 2x+4
в) |x-3| < x+1 г) |x+3| < 2x+4

Подробный ответ

а) $$|x-3| > x+1$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x \ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, и получаем:
$$x-3 > x+1$$
$$-3 > 1$$
Это неверно, значит, решений нет.
2) Если $$x < 3$$, то $$|x-3|=3-x$$, и тогда:
$$3-x > x+1$$
$$2 > 2x$$
$$x < 1$$
С учётом условия $$x<3$$ получаем $$x<1$$.
Следовательно, $$x \in (-\infty;1)$$.
б) $$|x+3| > 2x+4$$
1) Если $$x \ge -3$$, то $$|x+3|=x+3$$:
$$x+3 > 2x+4$$
$$-x > 1$$
$$x < -1$$
С учётом условия $$x \ge -3$$ получаем $$x \in [-3;-1)$$.
2) Если $$x < -3$$, то $$|x+3|=-x-3$$:
$$-x-3 > 2x+4$$
$$-3x > 7$$
$$x < -\frac{7}{3}$$
Это условие вместе с $$x<-3$$ даёт $$x<-3$$.
Объединяя, получаем $$x \in (-\infty;-1)$$.
в) $$|x-3| < x+1$$
Если $$x+1 \le 0$$, то правая часть не положительна, а модуль неотрицателен, значит решений нет. Поэтому нужно $$x>-1$$.
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x \ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$:
$$x-3 < x+1$$
$$-3 < 1$$
Это верно при всех таких $$x$$.
2) Если $$x < 3$$, то $$|x-3|=3-x$$:
$$3-x < x+1$$
$$2 < 2x$$
$$x > 1$$
С учётом условия $$x>-1$$ получаем $$x \in (1;3)$$.
Итак, $$x \in (1;+\infty)$$.
г) $$|x+3| < 2x+4$$
Необходимо, чтобы правая часть была положительной:
$$2x+4 > 0 \Rightarrow x > -2$$.
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x \ge -3$$, то $$|x+3|=x+3$$:
$$x+3 < 2x+4$$
$$-x < 1$$
$$x > -1$$
2) Если $$x < -3$$, то $$|x+3|=-x-3$$:
$$-x-3 < 2x+4$$
$$-3x < 7$$
$$x > -\frac{7}{3}$$
Это противоречит условию $$x<-3$$, значит, решений здесь нет.
Следовательно, $$x \in (-1;+\infty)$$.