Упр.678 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

678.
а) (tg(90°+а)•cos(270°+а)•cos(-а))/(ctg(180°-а)•sin(270°+а))=-sinа
б) cos^2(3пи/2+2)/tg^2(а-2пи) +cos^2(-а)/tg^2(а-3пи/2) =1

Подробный ответ

а) Используем формулы приведения:

$$\tg(90^\circ+\alpha)=-\ctg\alpha,$$
$$\cos(270^\circ+\alpha)=\sin\alpha,$$
$$\cos(-\alpha)=\cos\alpha,$$
$$\ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha,$$
$$\sin(270^\circ+\alpha)=-\cos\alpha.$$

Тогда

$$ \frac{\tg(90^\circ+\alpha)\cdot \cos(270^\circ+\alpha)\cdot \cos(-\alpha)} {\ctg(180^\circ-\alpha)\cdot \sin(270^\circ+\alpha)} = \frac{(-\ctg\alpha)\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha}{(-\ctg\alpha)\cdot(-\cos\alpha)} $$

$$ = -\frac{\ctg\alpha\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha}{\ctg\alpha\cdot \cos\alpha} = -\sin\alpha. $$

Равенство доказано.

б) Применим формулы приведения:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,$$
$$\tg(\alpha-2\pi)=\tg\alpha,$$
$$\cos(-\alpha)=\cos\alpha,$$
$$\tg\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)=\ctg\alpha.$$

Тогда левая часть равна

$$ \frac{\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}{\tg^2(\alpha-2\pi)} + \frac{\cos^2(-\alpha)}{\tg^2\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)} = \frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\ctg^2\alpha}. $$

Преобразуем:

$$ \frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\ctg^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} + \frac{\cos^2\alpha}{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. $$

Равенство доказано.