Упр.675 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) 2 sin^2 а/2+cos а
б) 2 cos^2 а/2+cos а
в)sin 2а/(1+cos 2а )•cos?а/(1+cos а )
г) (2 sinа-sin 2а)/(2 sin а+sin 2а )

Воспользуемся формулами:

$$\sin^2 \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}, \qquad \cos^2 \frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}, \qquad \sin 2a=2\sin a \cos a.$$

1. $$2\sin^2 \frac{a}{2}+\cos a=2\cdot \frac{1-\cos a}{2}+\cos a=1-\cos a+\cos a=1.$$

2. $$2\cos^2 \frac{a}{2}-\cos a=2\cdot \frac{1+\cos a}{2}-\cos a=1+\cos a-\cos a=1.$$

3. $$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}\cdot \frac{\cos a}{1+\cos a}=\frac{2\sin a\cos a}{1+\cos 2a}\cdot \frac{\cos a}{1+\cos a}.$$

   Так как $$1+\cos 2a=2\cos^2 a,$$ получаем

   $$\frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a}\cdot \frac{\cos a}{1+\cos a}=\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\cos a}{1+\cos a}=\frac{\sin a}{1+\cos a}.$$

4. $$\frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a}=\frac{2\sin a-2\sin a\cos a}{2\sin a+2\sin a\cos a}.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\frac{2\sin a(1-\cos a)}{2\sin a(1+\cos a)}=\frac{1-\cos a}{1+\cos a}.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$\frac{\sin a}{1+\cos a}$$; г) $$\frac{1-\cos a}{1+\cos a}$$.