Упр.674 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) Вычислите cosа/2, если sin a =-1/3, пи < a < 3пи/2

Воспользуемся формулами половинного угла:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}.$$

1. $$\cos\alpha=\frac13,\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1-\frac13}{2}=\frac{\frac23}{2}=\frac13.$$

   Так как $$0<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{4},$$ то $$\sin\frac{\alpha}{2}>0.$$ Следовательно,

   $$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

2. $$\sin\alpha=-\frac13,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Найдём косинус угла $$\alpha$$:

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac19}=-\sqrt{\frac89}=-\frac{2\sqrt2}{3}.$$

   Теперь вычислим:

   $$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1-\frac{2\sqrt2}{3}}{2}=\frac{3-2\sqrt2}{6}.$$

   Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3\pi}{4},$$ значит $$\cos\frac{\alpha}{2}<0.$$ Поэтому

   $$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{3-2\sqrt2}{6}}.$$

Ответ

$$\text{а) } \frac{\sqrt3}{3}; \qquad \text{б) } -\sqrt{\frac{3-2\sqrt2}{6}}.$$