Упр.673 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) 1+ cos а=2cos^2а/2
б) 1- cos а=2sin^2 а/2
в)(2 sin а-sin 2а)/(2 sin а+sin 2а )=tg^2а/2
г)(1+sin 2а)/cos 2а =tg (пи/4+а)
д) tg а/2/(1+tg а/2)+tg а/2/(1-tg а/2)=tg а
е) 1/(1-tg а/2)-1/(1+tg а/2)=tg а
ж) (2 tg а/2)/(1-tg^2 а/2)=tg а
з) (ctg а/2-tg а/2)/(сtg а/2+tg а/2)=cosа

Используем формулы двойного и половинного углов:

$$\cos a=2\cos^2\frac a2-1,$$
$$\cos a=1-2\sin^2\frac a2,$$
$$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$
$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a,$$
$$\tg\left(\frac\pi4+a\right)=\frac{1+\tg a}{1-\tg a}.$$

1. $$1+\cos a=1+\left(2\cos^2\frac a2-1\right)=2\cos^2\frac a2.$$

2. $$1-\cos a=1-\left(1-2\sin^2\frac a2\right)=2\sin^2\frac a2.$$

3. $$\frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a} =\frac{2\sin a-2\sin a\cos a}{2\sin a+2\sin a\cos a} =\frac{1-\cos a}{1+\cos a}.$$

   Подставим формулы половинного угла:
   $$\frac{1-\cos a}{1+\cos a} =\frac{2\sin^2\frac a2}{2\cos^2\frac a2} =\tg^2\frac a2.$$

4. $$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a} =\frac{1+2\sin a\cos a}{\cos^2 a-\sin^2 a} =\frac{\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}.$$

   $$\frac{(\sin a+\cos a)^2}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)} =\frac{\sin a+\cos a}{\cos a-\sin a}.$$

   Делим числитель и знаменатель на $\cos a$:
   $$\frac{1+\tg a}{1-\tg a}=\tg\left(\frac\pi4+a\right).$$

5. $$\frac{\tg\frac a2}{1+\tg\frac a2}+\frac{\tg\frac a2}{1-\tg\frac a2} =\frac{\tg\frac a2(1-\tg\frac a2)+\tg\frac a2(1+\tg\frac a2)}{1-\tg^2\frac a2}.$$

   $$\frac{2\tg\frac a2}{1-\tg^2\frac a2}=\tg a.$$

6. $$\frac{1}{1-\tg\frac a2}-\frac{1}{1+\tg\frac a2} =\frac{(1+\tg\frac a2)-(1-\tg\frac a2)}{1-\tg^2\frac a2}.$$

   $$\frac{2\tg\frac a2}{1-\tg^2\frac a2}=\tg a.$$

7. $$\frac{2\tg\frac a2}{1-\tg^2\frac a2} =\frac{\tg\frac a2+\tg\frac a2}{1-\tg\frac a2\cdot\tg\frac a2} =\tg\left(\frac a2+\frac a2\right)=\tg a.$$

8. $$\frac{\ctg\frac a2-\tg\frac a2}{\ctg\frac a2+\tg\frac a2} =\frac{\frac{\cos\frac a2}{\sin\frac a2}-\frac{\sin\frac a2}{\cos\frac a2}}{\frac{\cos\frac a2}{\sin\frac a2}+\frac{\sin\frac a2}{\cos\frac a2}}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{\frac{\cos^2\frac a2-\sin^2\frac a2}{\sin\frac a2\cos\frac a2}}{\frac{\cos^2\frac a2+\sin^2\frac a2}{\sin\frac a2\cos\frac a2}} =\frac{\cos^2\frac a2-\sin^2\frac a2}{\cos^2\frac a2+\sin^2\frac a2}.$$

   Так как $$\cos^2\frac a2+\sin^2\frac a2=1,$$ а
   $$\cos^2\frac a2-\sin^2\frac a2=\cos a,$$
   получаем
   $$\frac{\ctg\frac a2-\tg\frac a2}{\ctg\frac a2+\tg\frac a2}=\cos a.$$

Ответ

Все равенства доказаны.