Упр.673 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Докажите справедливость равенства:
- а) $$1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}$$
- б) $$1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}$$
- в) $$\frac{2\sin\alpha-\sin 2\alpha}{2\sin\alpha+\sin 2\alpha}=\tg^2\frac{\alpha}{2}$$
- г) $$\frac{1+\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=\tg\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$$
- д) $$\frac{\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg\frac{\alpha}{2}}+\frac{\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg\frac{\alpha}{2}}=\tg\alpha$$
- е) $$\frac{1}{1-\tg\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{1+\tg\frac{\alpha}{2}}=\tg\alpha$$
- ж) $$\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}=\tg\alpha$$
- з) $$\frac{\ctg\frac{\alpha}{2}-\tg\frac{\alpha}{2}}{\ctg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}}=\cos\alpha$$
Используем формулы двойного и половинного углов:
$$\cos a=2\cos^2\frac a2-1,$$
$$\cos a=1-2\sin^2\frac a2,$$
$$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$
$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a,$$
$$\tg\left(\frac\pi4+a\right)=\frac{1+\tg a}{1-\tg a}.$$
$$1+\cos a=1+\left(2\cos^2\frac a2-1\right)=2\cos^2\frac a2.$$
$$1-\cos a=1-\left(1-2\sin^2\frac a2\right)=2\sin^2\frac a2.$$
$$\frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a} =\frac{2\sin a-2\sin a\cos a}{2\sin a+2\sin a\cos a} =\frac{1-\cos a}{1+\cos a}.$$
Подставим формулы половинного угла:
$$\frac{1-\cos a}{1+\cos a} =\frac{2\sin^2\frac a2}{2\cos^2\frac a2} =\tg^2\frac a2.$$$$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a} =\frac{1+2\sin a\cos a}{\cos^2 a-\sin^2 a} =\frac{\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}.$$
$$\frac{(\sin a+\cos a)^2}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)} =\frac{\sin a+\cos a}{\cos a-\sin a}.$$
Делим числитель и знаменатель на $$\cos a$$:
$$\frac{1+\tg a}{1-\tg a}=\tg\left(\frac\pi4+a\right).$$$$\frac{\tg\frac a2}{1+\tg\frac a2}+\frac{\tg\frac a2}{1-\tg\frac a2} =\frac{\tg\frac a2(1-\tg\frac a2)+\tg\frac a2(1+\tg\frac a2)}{1-\tg^2\frac a2}.$$
$$\frac{2\tg\frac a2}{1-\tg^2\frac a2}=\tg a.$$
$$\frac{1}{1-\tg\frac a2}-\frac{1}{1+\tg\frac a2} =\frac{(1+\tg\frac a2)-(1-\tg\frac a2)}{1-\tg^2\frac a2}.$$
$$\frac{2\tg\frac a2}{1-\tg^2\frac a2}=\tg a.$$
$$\frac{2\tg\frac a2}{1-\tg^2\frac a2} =\frac{\tg\frac a2+\tg\frac a2}{1-\tg\frac a2\cdot\tg\frac a2} =\tg\left(\frac a2+\frac a2\right)=\tg a.$$
$$\frac{\ctg\frac a2-\tg\frac a2}{\ctg\frac a2+\tg\frac a2} =\frac{\frac{\cos\frac a2}{\sin\frac a2}-\frac{\sin\frac a2}{\cos\frac a2}}{\frac{\cos\frac a2}{\sin\frac a2}+\frac{\sin\frac a2}{\cos\frac a2}}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\frac{\cos^2\frac a2-\sin^2\frac a2}{\sin\frac a2\cos\frac a2}}{\frac{\cos^2\frac a2+\sin^2\frac a2}{\sin\frac a2\cos\frac a2}} =\frac{\cos^2\frac a2-\sin^2\frac a2}{\cos^2\frac a2+\sin^2\frac a2}.$$Так как $$\cos^2\frac a2+\sin^2\frac a2=1,$$ а
$$\cos^2\frac a2-\sin^2\frac a2=\cos a,$$
получаем
$$\frac{\ctg\frac a2-\tg\frac a2}{\ctg\frac a2+\tg\frac a2}=\cos a.$$
Ответ
Все равенства доказаны.
