Упр.671 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите справедливость равенства:

1. а) $$\frac{1}{1-\mathrm{tg}\,\alpha}-\frac{1}{1+\mathrm{tg}\,\alpha}=\mathrm{tg}\,2\alpha$$;
   б) $$\sin 2\alpha-\mathrm{tg}\,\alpha=\cos 2\alpha\cdot\mathrm{tg}\,\alpha$$.

Используем формулы для двойного угла:

$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}, \qquad \sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha, \qquad \cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha.$$

1. Преобразуем левую часть:

   $$\frac{1}{1-\tg \alpha}-\frac{1}{1+\tg \alpha}=\frac{(1+\tg \alpha)-(1-\tg \alpha)}{(1-\tg \alpha)(1+\tg \alpha)}.$$

   $$\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}=\tg 2\alpha.$$

   Следовательно,

   $$\frac{1}{1-\tg \alpha}-\frac{1}{1+\tg \alpha}=\tg 2\alpha.$$

2. Преобразуем левую часть:

   $$\sin 2\alpha-\tg \alpha=2\sin \alpha \cos \alpha-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2\sin \alpha \cos^2 \alpha-\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\sin \alpha(2\cos^2 \alpha-1)}{\cos \alpha}.$$

   Так как $$2\cos^2 \alpha-1=\cos 2\alpha,$$ получаем

   $$\frac{\sin \alpha \cos 2\alpha}{\cos \alpha}=\cos 2\alpha \cdot \tg \alpha.$$

   Значит,

   $$\sin 2\alpha-\tg \alpha=\cos 2\alpha \cdot \tg \alpha.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{1-\tg \alpha}-\frac{1}{1+\tg \alpha}=\tg 2\alpha$$; б) $$\sin 2\alpha-\tg \alpha=\cos 2\alpha \cdot \tg \alpha$$.