Упр.670 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ верно равенство:

а) $$\operatorname{tg}(45^\circ+a)=\frac{1+\operatorname{tg}a}{1-\operatorname{tg}a}$$

б) $$\operatorname{tg}(45^\circ-a)=\frac{1-\operatorname{tg}a}{1+\operatorname{tg}a}$$

Используем формулы сложения и вычитания тангенса:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

а)

$$\tg(45^\circ+a)=\frac{\tg45^\circ+\tga}{1-\tg45^\circ\cdot\tga} =\frac{1+\tga}{1-\tga}.$$

Это равенство верно при тех значениях $$a$$, для которых определены обе части, то есть

$$1-\tga\ne 0 \quad \Rightarrow \quad \tga\ne 1.$$

Следовательно,

$$a\ne 45^\circ+180^\circ k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б)

$$\tg(45^\circ-a)=\frac{\tg45^\circ-\tga}{1+\tg45^\circ\cdot\tga} =\frac{1-\tga}{1+\tga}.$$

Здесь нужно, чтобы знаменатель не обращался в нуль:

$$1+\tga\ne 0 \quad \Rightarrow \quad \tga\ne -1.$$

Значит,

$$a\ne -45^\circ+180^\circ k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$a\ne 45^\circ+180^\circ k,\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$a\ne -45^\circ+180^\circ k,\ k\in\mathbb Z$$.