Упр.667 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) tg(a+b) = (tga+tgb)/(1-tgatgb )
б) tg(a-b) = (tga-tgb)/(1+tga tgb )
в) tg2a = (2 tga)/(1+tg^2a )

1. Докажем формулу для суммы углов:

   $$ \tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a \tg b} $$

   Подставим $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}$$ и $$\tg b=\frac{\sin b}{\cos b}$$:

   $$ \tg(a+b)=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}}{1-\frac{\sin a}{\cos a}\cdot\frac{\sin b}{\cos b}} $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \tg(a+b)=\frac{\sin a\cos b+\sin b\cos a}{\cos a\cos b-\sin a\sin b} $$

   По формулам сложения:

   $$ \tg(a+b)=\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}=\tg(a+b) $$

   Следовательно, равенство верно.

2. Докажем формулу для разности углов:

   $$ \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a \tg b} $$

   Подставим $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}$$ и $$\tg b=\frac{\sin b}{\cos b}$$:

   $$ \tg(a-b)=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}}{1+\frac{\sin a}{\cos a}\cdot\frac{\sin b}{\cos b}} $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \tg(a-b)=\frac{\sin a\cos b-\sin b\cos a}{\cos a\cos b+\sin a\sin b} $$

   По формулам разности углов:

   $$ \tg(a-b)=\frac{\sin(a-b)}{\cos(a-b)}=\tg(a-b) $$

   Следовательно, равенство верно.

3. Докажем формулу двойного угла:

   $$ \tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a} $$

   Подставим $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}$$:

   $$ \tg 2a=\frac{2\frac{\sin a}{\cos a}}{1-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}} $$

   $$ \tg 2a=\frac{2\sin a\cos a}{\cos^2 a-\sin^2 a} $$

   По формулам двойного угла:

   $$ \tg 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\tg 2a $$

   Следовательно, равенство верно.

Ответ

Все три равенства доказаны.