Упр.666 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

666. Докажите справедливость равенств:
     а) $$2\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin a=\sin 2a$$;
     б) $$\sin^4 a-\cos^4 a=-\cos 2a$$;
     в) $$(\sin a+\cos a)^2=1+\sin 2a$$;
     г) $$(\sin a-\cos a)^2=1-\sin 2a$$.

1. а) Используем формулу разности синусов:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos a-\cos\frac{\pi}{2}\sin a=1\cdot \cos a-0\cdot \sin a=\cos a.$$

   Тогда

   $$2\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin a=2\cos a\sin a=\sin 2a.$$

2. б) Преобразуем разность квадратов:

   $$\sin^4 a-\cos^4 a=(\sin^2 a-\cos^2 a)(\sin^2 a+\cos^2 a).$$

   Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем

   $$\sin^4 a-\cos^4 a=\sin^2 a-\cos^2 a=-(\cos^2 a-\sin^2 a)=-\cos 2a.$$

3. в) Раскроем квадрат суммы:

   $$\left(\sin a+\cos a\right)^2=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a.$$

   С учётом $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$ и $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$ имеем

   $$\left(\sin a+\cos a\right)^2=1+\sin 2a.$$

4. г) Аналогично:

   $$\left(\sin a-\cos a\right)^2=\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a.$$

   Тогда

   $$\left(\sin a-\cos a\right)^2=1-\sin 2a.$$

Ответ

а) $$2\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin a=\sin 2a$$; б) $$\sin^4 a-\cos^4 a=-\cos 2a$$; в) $$\left(\sin a+\cos a\right)^2=1+\sin 2a$$; г) $$\left(\sin a-\cos a\right)^2=1-\sin 2a$$.