Упр.665 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

в) tga(l + cos 2a); г) (1 — cos2a)ctga;
д) 2cos^2a — cos2a; e) cos2a + 2sin^2a.

1. а)

   $$\frac{\ctg a-\tg a}{\cos 2a} =\frac{\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}}{\cos 2a} =\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a\cos a\cdot \cos 2a}.$$
   Так как $$\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a,$$ то
   $$\frac{\cos 2a}{\sin a\cos a\cdot \cos 2a}=\frac{1}{\sin a\cos a}=\frac{2}{\sin 2a}.$$

2. б)

   $$\frac{\ctg^2 a+1}{\ctg^2 a-1} =\frac{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}+1}{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-1} =\frac{\cos^2 a+\sin^2 a}{\cos^2 a-\sin^2 a} =\frac{1}{\cos 2a}.$$

3. в)

   $$\tg a\,(1+\cos 2a) =\frac{\sin a}{\cos a}\,(1+\cos 2a).$$
   Используем формулу $$\cos 2a=2\cos^2 a-1$$:
   $$1+\cos 2a=2\cos^2 a.$$
   Тогда
   $$\frac{\sin a}{\cos a}\cdot 2\cos^2 a=2\sin a\cos a=\sin 2a.$$

4. г)

   $$\left(1-\cos 2a\right)\ctg a =\left(1-\cos 2a\right)\frac{\cos a}{\sin a}.$$
   Так как $$1-\cos 2a=2\sin^2 a,$$ получаем
   $$2\sin^2 a\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=2\sin a\cos a=\sin 2a.$$

5. д)

   $$2\cos^2 a-\cos 2a =2\cos^2 a-(2\cos^2 a-1)=1.$$

6. е)

   $$\cos 2a+2\sin^2 a =(1-2\sin^2 a)+2\sin^2 a=1.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{\sin 2a}$$; б) $$\frac{1}{\cos 2a}$$; в) $$\sin 2a$$; г) $$\sin 2a$$; д) $$1$$; е) $$1$$.