Упр.664 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. а) $$\sin a\cos a\cos 2a$$;
   б) $$\cos^4 a-\sin^4 a$$;
   в) $$\frac{(\sin a+\cos? a)^2}{1+\sin 2a}$$;
   г) $$\frac{\cos 2a}{\sin a-\cos a}$$;
   д) $$\frac{\sin 2a}{\sin a}-\frac{\cos 2a}{\cos a}$$;
   е) $$\frac{1-\operatorname{tg}^2 a}{1+\operatorname{tg}^2 a}$$.

1. а) Используем формулу $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

   $$\sin a\cos a\cos 2a=\frac12\sin 2a\cos 2a=\frac14\sin 4a.$$

2. б) Применим формулу разности квадратов:

   $$\cos^4 a-\sin^4 a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)=\cos 2a.$$

3. в) Раскроем квадрат суммы и воспользуемся формулой $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

   $$\frac{(\sin a+\cos a)^2}{1+\sin 2a} =\frac{\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a}{1+\sin 2a} =\frac{1+\sin 2a}{1+\sin 2a}=1.$$

4. г) Преобразуем числитель:

   $$\frac{\cos 2a}{\sin a-\cos a} =\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a-\cos a} =\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{-(\cos a-\sin a)} =-(\cos a+\sin a).$$

5. д) Используем формулы $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$ и $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a$$:

   $$\frac{\sin 2a}{\sin a}-\frac{\cos 2a}{\cos a} =\frac{2\sin a\cos a}{\sin a}-\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos a} =2\cos a-\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos a}$$

   $$=\frac{2\cos^2 a-\cos^2 a+\sin^2 a}{\cos a} =\frac{\cos^2 a+\sin^2 a}{\cos a} =\frac1{\cos a}.$$

6. е) Заменим $$\tg^2 a=\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$:

   $$\frac{1-\tg^2 a}{1+\tg^2 a} =\frac{1-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{1+\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}} =\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a+\sin^2 a} =\cos 2a.$$

Ответ

а) $$\frac14\sin 4a$$; б) $$\cos 2a$$; в) $$1$$; г) $$-\cos a-\sin a$$; д) $$\frac1{\cos a}$$; е) $$\cos 2a$$.