Упр.664 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) sinа cosа cos2а
б) cos^4а-sin^4а
в) (sinа+cos?а )^2/(1+sin2а )
г) cos2а/(sinа-cosа )
д) sin2а/sinа -cos2а/cosа
е) 1-tg^2а/1+tg^2а

1. а) Используем формулу $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

   $$ \sin a\cos a\cos 2a=\frac12\sin 2a\cos 2a=\frac14\sin 4a. $$

2. б) Применим формулу разности квадратов:

   $$ \cos^4 a-\sin^4 a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)=\cos 2a. $$

3. в) Раскроем квадрат суммы и воспользуемся формулой $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

   $$ \frac{(\sin a+\cos a)^2}{1+\sin 2a} =\frac{\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a}{1+\sin 2a} =\frac{1+\sin 2a}{1+\sin 2a}=1. $$

4. г) Преобразуем числитель:

   $$ \frac{\cos 2a}{\sin a-\cos a} =\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a-\cos a} =\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{-(\cos a-\sin a)} =-(\cos a+\sin a). $$

5. д) Используем формулы $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$ и $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a$$:

   $$ \frac{\sin 2a}{\sin a}-\frac{\cos 2a}{\cos a} =\frac{2\sin a\cos a}{\sin a}-\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos a} =2\cos a-\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos a} $$

   $$ =\frac{2\cos^2 a-\cos^2 a+\sin^2 a}{\cos a} =\frac{\cos^2 a+\sin^2 a}{\cos a} =\frac1{\cos a}. $$

6. е) Заменим $$\tg^2 a=\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$:

   $$ \frac{1-\tg^2 a}{1+\tg^2 a} =\frac{1-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{1+\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}} =\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a+\sin^2 a} =\cos 2a. $$

Ответ

а) $$\frac14\sin 4a$$; б) $$\cos 2a$$; в) $$1$$; г) $$-\cos a-\sin a$$; д) $$\frac1{\cos a}$$; е) $$\cos 2a$$.