Упр.657 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) если sinа=1/2; 0 < а < пи/2 б) если cos а=-1/3; пи/2 < а < пи

Используем формулу двойного угла:

$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha.$$

а) Если $$\sin \alpha = \frac{1}{2}, \quad 0 < \alpha < \frac{\pi}{2},$$ то $$\cos \alpha > 0.$$

Найдём косинус:

$$ \cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Тогда

$$ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

б) Если $$\cos \alpha = -\frac{1}{3}, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi,$$ то $$\sin \alpha > 0.$$

Найдём синус:

$$ \sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha} = \sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}. $$

Тогда

$$ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}. $$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$-\frac{4\sqrt{2}}{9}$$.