Упр.652 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Представьте в виде произведения: а) $$1+2\sin a$$; б) $$1-2\cos a$$; в) $$\sqrt{3}-2\sin a$$.

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов и косинусов:

$$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2},$$
$$\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}.$$

1. $$1+2\sin \alpha=2\left(\frac12+\sin \alpha\right)=2\left(\sin \frac{\pi}{6}+\sin \alpha\right)$$
   $$=2\cdot 2\sin \frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\cos \frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2} =4\sin \frac{\pi+6\alpha}{12}\cos \frac{\pi-6\alpha}{12}.$$

2. $$1-2\cos \alpha=2\left(\frac12-\cos \alpha\right)=2\left(\cos \frac{\pi}{3}-\cos \alpha\right)$$
   $$=2\cdot(-2)\sin \frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\sin \frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2} =-4\sin \frac{\pi+3\alpha}{6}\sin \frac{\pi-3\alpha}{6}.$$

3. $$\sqrt{3}-2\sin \alpha=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin \alpha\right)=2\left(\sin \frac{\pi}{3}-\sin \alpha\right)$$
   $$=2\cdot 2\sin \frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\cos \frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2} =4\sin \frac{\pi-3\alpha}{6}\cos \frac{\pi+3\alpha}{6}.$$

Ответ

$$\text{а) }4\sin \frac{\pi+6\alpha}{12}\cos \frac{\pi-6\alpha}{12};\quad \text{б) }-4\sin \frac{\pi+3\alpha}{6}\sin \frac{\pi-3\alpha}{6};\quad \text{в) }4\sin \frac{\pi-3\alpha}{6}\cos \frac{\pi+3\alpha}{6}.$$