Упр.651 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) (sin a — sin b)^2 + (cos a — cosb)^2 = 4 sin^2 (a-b)/2

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов и косинусов:

$$ \sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}, \qquad \cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2} $$
$$ \sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}, \qquad \cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} $$

а)

$$ (\sin a+\sin b)^2+(\cos a+\cos b)^2 $$
$$ =\left(2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\right)^2+\left(2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\right)^2 $$
$$ =4\sin^2\frac{a+b}{2}\cos^2\frac{a-b}{2}+4\cos^2\frac{a+b}{2}\cos^2\frac{a-b}{2} $$
$$ =4\cos^2\frac{a-b}{2}\left(\sin^2\frac{a+b}{2}+\cos^2\frac{a+b}{2}\right) $$
$$ =4\cos^2\frac{a-b}{2}. $$

б)

$$ (\sin a-\sin b)^2+(\cos a-\cos b)^2 $$
$$ =\left(2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\right)^2+\left(-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\right)^2 $$
$$ =4\cos^2\frac{a+b}{2}\sin^2\frac{a-b}{2}+4\sin^2\frac{a+b}{2}\sin^2\frac{a-b}{2} $$
$$ =4\sin^2\frac{a-b}{2}\left(\cos^2\frac{a+b}{2}+\sin^2\frac{a+b}{2}\right) $$
$$ =4\sin^2\frac{a-b}{2}. $$

Ответ

$$ (\sin a+\sin b)^2+(\cos a+\cos b)^2=4\cos^2\frac{a-b}{2}, $$
$$ (\sin a-\sin b)^2+(\cos a-\cos b)^2=4\sin^2\frac{a-b}{2}. $$