Упр.650 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (sinа+sinb)/(cosа-cosb )=ctg(b-а)/2
б) (cosа+sinа)/(cosа-sinа )=tg(pi/4+а)

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов и косинусов.

1. $$\frac{\sin a+\sin b}{\cos a-\cos b}$$
   $$=\frac{2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}}$$
   $$=-\ctg\frac{a-b}{2}$$
   $$=\ctg\frac{b-a}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\sin a+\sin b}{\cos a-\cos b}=\ctg\frac{b-a}{2}.$$

2. $$\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}$$
   $$=\frac{\cos a+\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{\cos a-\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}$$
   $$=\frac{2\cos\frac{a+\frac{\pi}{2}-a}{2}\cos\frac{a-\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{2}}{-2\sin\frac{a+\frac{\pi}{2}-a}{2}\sin\frac{a-\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{2}}$$
   $$=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)}{-2\sin\frac{\pi}{4}\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)}$$
   $$=\frac{\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)}{-\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)}$$
   $$=\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right).$$

   Значит,

   $$\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}=\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right).$$

Ответ

а) $$\frac{\sin a+\sin b}{\cos a-\cos b}=\ctg\frac{b-a}{2}$$

б) $$\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}=\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)$$