Упр.649 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 649. Докажите, что для любого угла а справедливо неравенство |sinа + cosа| < =v2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 nikol9 649 95

Используем формулу суммы синуса и косинуса:

$$\sin a+\cos a=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a\right).$$

Так как $$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4},$$ то

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a=\sin a\cos \frac{\pi}{4}+\cos a\sin \frac{\pi}{4}=\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right).$$

Следовательно,

$$|\sin a+\cos a|=\sqrt{2}\left|\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\right|.$$

Но для любого угла $$x$$ выполняется неравенство $$|\sin x|\le 1,$$ значит

$$|\sin a+\cos a|\le \sqrt{2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$|\sin a+\cos a|\le \sqrt{2}.$$