Упр.648 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
648. Докажите справедливость равенства:
а) sin 35° + sin 25° = cos 5°;
б) cos 20° — sin 50° = sin 10°;
в) sin 87° — sin 93° — sin 59° + sin 61° = sin 1°.
Воспользуемся формулами суммы и разности синусов и косинусов.
$$\sin 35^\circ+\sin 25^\circ=2\sin\frac{35^\circ+25^\circ}{2}\cdot\cos\frac{35^\circ-25^\circ}{2}$$
$$=2\sin 30^\circ\cdot\cos 5^\circ$$
$$=2\cdot\frac12\cdot\cos 5^\circ=\cos 5^\circ.$$$$\cos 20^\circ-\sin 50^\circ=\cos 20^\circ-\cos 40^\circ$$
$$=-2\sin\frac{20^\circ+40^\circ}{2}\cdot\sin\frac{20^\circ-40^\circ}{2}$$
$$=-2\sin 30^\circ\cdot\sin(-10^\circ)$$
$$=-2\cdot\frac12\cdot(-\sin 10^\circ)=\sin 10^\circ.$$$$\sin 87^\circ-\sin 93^\circ-\sin 59^\circ+\sin 61^\circ$$
$$=(\sin 87^\circ-\sin 93^\circ)-(\sin 59^\circ-\sin 61^\circ)$$
$$=2\sin\frac{87^\circ-93^\circ}{2}\cdot\cos\frac{87^\circ+93^\circ}{2}-2\sin\frac{59^\circ-61^\circ}{2}\cdot\cos\frac{59^\circ+61^\circ}{2}$$
$$=2\sin(-3^\circ)\cdot\cos 90^\circ-2\sin(-1^\circ)\cdot\cos 60^\circ$$
$$=2\cdot(-\sin 3^\circ)\cdot 0-2\cdot(-\sin 1^\circ)\cdot\frac12$$
$$=\sin 1^\circ.$$
Ответ
а) $$\sin 35^\circ+\sin 25^\circ=\cos 5^\circ$$; б) $$\cos 20^\circ-\sin 50^\circ=\sin 10^\circ$$; в) $$\sin 87^\circ-\sin 93^\circ-\sin 59^\circ+\sin 61^\circ=\sin 1^\circ$$.
