Упр.647 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}{\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}$$
   б) $$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}$$

а) Используем формулы суммы и разности синусов:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) =2\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha,$$
$$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) =2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)} {\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{2\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha}{2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha.$$

б) Используем формулы суммы и разности косинусов:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) =2\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4},$$
$$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) =-2\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha.$$

Тогда

$$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)} {\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)} = \frac{2\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}}{-2\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\operatorname{ctg}\alpha.$$

Ответ

а) $$\operatorname{ctg}\alpha$$; б) $$-\operatorname{ctg}\alpha$$.