Упр.647 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (sin(пи/4+а)+sin(пи/4-а))/(sin(а+пи/4)+sin(а-пи/4))
б) (cos(пи/4+а)+cos(а-пи/4))/(cos(а+пи/4)-cos(пи/4-а))

а) Используем формулы суммы и разности синусов:

$$ \sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) =2\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha, $$
$$ \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) =2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4}. $$

Тогда

$$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)} {\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{2\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha}{2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha. $$

б) Используем формулы суммы и разности косинусов:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) =2\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}, $$
$$ \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) =-2\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha. $$

Тогда

$$ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)} {\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)} = \frac{2\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}}{-2\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\operatorname{ctg}\alpha. $$

Ответ

а) $$\operatorname{ctg}\alpha$$; б) $$-\operatorname{ctg}\alpha$$.