Упр.646 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

a) cos 75° • cos 105°; б) sin 75° • sin 15°;
в) cos75°/2•cos15°/2 ; г) sin 105° • cos 15°.

Воспользуемся формулами произведения тригонометрических функций:

$$ \cos A \cos B=\frac12\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr), $$
$$ \sin A \sin B=\frac12\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr), $$
$$ \sin A \cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr). $$

1. $$ \cos 75^\circ \cdot \cos 105^\circ =\frac12\bigl(\cos(75^\circ-105^\circ)+\cos(75^\circ+105^\circ)\bigr) $$
   $$ =\frac12\bigl(\cos(-30^\circ)+\cos 180^\circ\bigr) =\frac12\left(\frac{\sqrt3}{2}-1\right) =\frac{\sqrt3-2}{4}. $$

2. $$ \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ =\frac12\bigl(\cos(75^\circ-15^\circ)-\cos(75^\circ+15^\circ)\bigr) $$
   $$ =\frac12\bigl(\cos 60^\circ-\cos 90^\circ\bigr) =\frac12\left(\frac12-0\right) =\frac14. $$

3. $$ \cos \frac{75^\circ}{2}\cdot \cos \frac{15^\circ}{2} =\frac12\left(\cos\left(\frac{75^\circ}{2}-\frac{15^\circ}{2}\right)+\cos\left(\frac{75^\circ}{2}+\frac{15^\circ}{2}\right)\right) $$
   $$ =\frac12\bigl(\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\bigr) =\frac12\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right) =\frac{\sqrt2+\sqrt3}{4}. $$

4. $$ \sin 105^\circ \cdot \cos 15^\circ =\frac12\bigl(\sin(105^\circ+15^\circ)+\sin(105^\circ-15^\circ)\bigr) $$
   $$ =\frac12\bigl(\sin 120^\circ+\sin 90^\circ\bigr) =\frac12\left(\frac{\sqrt3}{2}+1\right) =\frac{\sqrt3+2}{4}. $$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt3-2}{4}$$; б) $$\frac14$$; в) $$\frac{\sqrt2+\sqrt3}{4}$$; г) $$\frac{\sqrt3+2}{4}$$.