Упр.646 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\cos 75^\circ\cdot\cos 105^\circ$$; б) $$\sin 75^\circ\cdot\sin 15^\circ$$; в) $$\cos 75^\circ/2\cdot\cos 15^\circ/2$$; г) $$\sin 105^\circ\cdot\cos 15^\circ$$.

Воспользуемся формулами произведения тригонометрических функций:

$$\cos A \cos B=\frac12\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr),$$
$$\sin A \sin B=\frac12\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr),$$
$$\sin A \cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).$$

1. $$\cos 75^\circ \cdot \cos 105^\circ =\frac12\bigl(\cos(75^\circ-105^\circ)+\cos(75^\circ+105^\circ)\bigr)$$
   $$=\frac12\bigl(\cos(-30^\circ)+\cos 180^\circ\bigr) =\frac12\left(\frac{\sqrt3}{2}-1\right) =\frac{\sqrt3-2}{4}.$$

2. $$\sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ =\frac12\bigl(\cos(75^\circ-15^\circ)-\cos(75^\circ+15^\circ)\bigr)$$
   $$=\frac12\bigl(\cos 60^\circ-\cos 90^\circ\bigr) =\frac12\left(\frac12-0\right) =\frac14.$$

3. $$\cos \frac{75^\circ}{2}\cdot \cos \frac{15^\circ}{2} =\frac12\left(\cos\left(\frac{75^\circ}{2}-\frac{15^\circ}{2}\right)+\cos\left(\frac{75^\circ}{2}+\frac{15^\circ}{2}\right)\right)$$
   $$=\frac12\bigl(\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\bigr) =\frac12\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right) =\frac{\sqrt2+\sqrt3}{4}.$$

4. $$\sin 105^\circ \cdot \cos 15^\circ =\frac12\bigl(\sin(105^\circ+15^\circ)+\sin(105^\circ-15^\circ)\bigr)$$
   $$=\frac12\bigl(\sin 120^\circ+\sin 90^\circ\bigr) =\frac12\left(\frac{\sqrt3}{2}+1\right) =\frac{\sqrt3+2}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt3-2}{4}$$; б) $$\frac14$$; в) $$\frac{\sqrt2+\sqrt3}{4}$$; г) $$\frac{\sqrt3+2}{4}$$.