Упр.644 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

644. Докажите справедливость равенства:
а) sin 50° + sin 10° — cos 20° = 0;
б) cos 48° + sin 18° — cos 12° = 0.

а) Используем формулу суммы синусов:

$$ \sin 50^\circ+\sin 10^\circ=2\sin \frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos \frac{50^\circ-10^\circ}{2} $$
$$ =2\sin 30^\circ \cos 20^\circ $$
Тогда
$$ \sin 50^\circ+\sin 10^\circ-\cos 20^\circ =2\sin 30^\circ \cos 20^\circ-\cos 20^\circ $$
$$ =\cos 20^\circ(2\sin 30^\circ-1) =\cos 20^\circ(2\cdot \frac12-1)=0. $$
Равенство доказано.

б) Используем формулу суммы косинусов:

$$ \cos 48^\circ-\cos 12^\circ=-2\sin \frac{48^\circ+12^\circ}{2}\sin \frac{48^\circ-12^\circ}{2} $$
$$ =-2\sin 30^\circ \sin 18^\circ $$
Тогда
$$ \cos 48^\circ+\sin 18^\circ-\cos 12^\circ =-2\sin 30^\circ \sin 18^\circ+\sin 18^\circ $$
$$ =\sin 18^\circ(-2\sin 30^\circ+1) =\sin 18^\circ\left(-2\cdot \frac12+1\right)=0. $$
Равенство доказано.

Ответ

а) $$\sin 50^\circ+\sin 10^\circ-\cos 20^\circ=0$$; б) $$\cos 48^\circ+\sin 18^\circ-\cos 12^\circ=0$$.