Упр.644 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

644. Докажите справедливость равенства: а) $$\sin 50^\circ+\sin 10^\circ-\cos 20^\circ=0$$; б) $$\cos 48^\circ+\sin 18^\circ-\cos 12^\circ=0$$.

а) Используем формулу суммы синусов:

$$\sin 50^\circ+\sin 10^\circ=2\sin \frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos \frac{50^\circ-10^\circ}{2}$$
$$=2\sin 30^\circ \cos 20^\circ$$
Тогда
$$\sin 50^\circ+\sin 10^\circ-\cos 20^\circ =2\sin 30^\circ \cos 20^\circ-\cos 20^\circ$$
$$=\cos 20^\circ(2\sin 30^\circ-1) =\cos 20^\circ(2\cdot \frac12-1)=0.$$
Равенство доказано.

б) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos 48^\circ-\cos 12^\circ=-2\sin \frac{48^\circ+12^\circ}{2}\sin \frac{48^\circ-12^\circ}{2}$$
$$=-2\sin 30^\circ \sin 18^\circ$$
Тогда
$$\cos 48^\circ+\sin 18^\circ-\cos 12^\circ =-2\sin 30^\circ \sin 18^\circ+\sin 18^\circ$$
$$=\sin 18^\circ(-2\sin 30^\circ+1) =\sin 18^\circ\left(-2\cdot \frac12+1\right)=0.$$
Равенство доказано.

Ответ

а) $$\sin 50^\circ+\sin 10^\circ-\cos 20^\circ=0$$; б) $$\cos 48^\circ+\sin 18^\circ-\cos 12^\circ=0$$.