Упр.642 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

a) $$\cos 40^\circ+\cos 30^\circ+\cos 20^\circ+\cos 10^\circ$$; б) $$\sin 5^\circ+\sin 10^\circ+\sin 15^\circ+\sin 20^\circ$$.

Воспользуемся формулами суммы и разности косинусов и синусов:

$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$

a)

$$\cos 40^\circ+\cos 30^\circ+\cos 20^\circ+\cos 10^\circ$$
$$=(\cos 40^\circ+\cos 10^\circ)+(\cos 30^\circ+\cos 20^\circ)$$
$$=2\cos 25^\circ\cos 15^\circ+2\cos 25^\circ\cos 5^\circ$$
$$=2\cos 25^\circ(\cos 15^\circ+\cos 5^\circ)$$
$$=2\cos 25^\circ\cdot 2\cos 10^\circ\cos 5^\circ$$
$$=4\cos 25^\circ\cos 10^\circ\cos 5^\circ.$$

б)

$$\sin 5^\circ+\sin 10^\circ+\sin 15^\circ+\sin 20^\circ$$
$$=(\sin 5^\circ+\sin 20^\circ)+(\sin 10^\circ+\sin 15^\circ)$$
$$=2\sin 12{,}5^\circ\cos 7{,}5^\circ+2\sin 12{,}5^\circ\cos 2{,}5^\circ$$
$$=2\sin 12{,}5^\circ(\cos 7{,}5^\circ+\cos 2{,}5^\circ)$$
$$=2\sin 12{,}5^\circ\cdot 2\cos 5^\circ\cos 2{,}5^\circ$$
$$=4\sin 12{,}5^\circ\cos 5^\circ\cos 2{,}5^\circ.$$

Ответ

$$a)\;4\cos 25^\circ\cos 10^\circ\cos 5^\circ;\qquad b)\;4\sin 12{,}5^\circ\cos 5^\circ\cos 2{,}5^\circ.$$