Упр.642 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) sin 5° + sin 10° + sin 15° + sin 20°.

Воспользуемся формулами суммы и разности косинусов и синусов:

$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$

a)

$$ \cos 40^\circ+\cos 30^\circ+\cos 20^\circ+\cos 10^\circ $$
$$ =(\cos 40^\circ+\cos 10^\circ)+(\cos 30^\circ+\cos 20^\circ) $$
$$ =2\cos 25^\circ\cos 15^\circ+2\cos 25^\circ\cos 5^\circ $$
$$ =2\cos 25^\circ(\cos 15^\circ+\cos 5^\circ) $$
$$ =2\cos 25^\circ\cdot 2\cos 10^\circ\cos 5^\circ $$
$$ =4\cos 25^\circ\cos 10^\circ\cos 5^\circ. $$

б)

$$ \sin 5^\circ+\sin 10^\circ+\sin 15^\circ+\sin 20^\circ $$
$$ =(\sin 5^\circ+\sin 20^\circ)+(\sin 10^\circ+\sin 15^\circ) $$
$$ =2\sin 12{,}5^\circ\cos 7{,}5^\circ+2\sin 12{,}5^\circ\cos 2{,}5^\circ $$
$$ =2\sin 12{,}5^\circ(\cos 7{,}5^\circ+\cos 2{,}5^\circ) $$
$$ =2\sin 12{,}5^\circ\cdot 2\cos 5^\circ\cos 2{,}5^\circ $$
$$ =4\sin 12{,}5^\circ\cos 5^\circ\cos 2{,}5^\circ. $$

Ответ

$$a)\;4\cos 25^\circ\cos 10^\circ\cos 5^\circ;\qquad b)\;4\sin 12{,}5^\circ\cos 5^\circ\cos 2{,}5^\circ.$$