Упр.637 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Доказываем. Докажите справедливость равенства:

1. а) $$\sin(a-b)+\sin(a+b)=2\sin a\cos b$$;
   б) $$\sin(a-b)\sin(a+b)=\sin^2 a-\sin^2 b$$.

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов:

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,$$

$$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.$$

а)

$$\sin(a-b)+\sin(a+b)= (\sin a\cos b-\cos a\sin b)+(\sin a\cos b+\cos a\sin b).$$

Сократим противоположные слагаемые:

$$\sin(a-b)+\sin(a+b)=2\sin a\cos b.$$

Что и требовалось доказать.

б)

$$\sin(a-b)\sin(a+b)= (\sin a\cos b-\cos a\sin b)(\sin a\cos b+\cos a\sin b).$$

Используем формулу разности квадратов:

$$\sin(a-b)\sin(a+b)=\sin^2 a\cos^2 b-\cos^2 a\sin^2 b.$$

Заменим $$\cos^2 b=1-\sin^2 b$$ и $$\cos^2 a=1-\sin^2 a$$:

$$\sin^2 a(1-\sin^2 b)-(1-\sin^2 a)\sin^2 b.$$

Раскроем скобки:

$$\sin^2 a-\sin^2 a\sin^2 b-\sin^2 b+\sin^2 a\sin^2 b=\sin^2 a-\sin^2 b.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\sin(a-b)+\sin(a+b)=2\sin a\cos b,$$

$$\sin(a-b)\sin(a+b)=\sin^2 a-\sin^2 b.$$