Упр.636 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) sin(a+b),если 0 < a < пи/2,0 < b < пи/2 и sina=1/2; cosb=1/3 б) sin(a-b),если пи/2 < a < пи,пи < b < 3пи/2 и cosa=-0,2; cosb=-0,1

а) Используем формулу суммы:

$$\sin(a+b)=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b.$$

Так как $$0<a<\frac{\pi}{2}$$ и $$0<b<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos a>0,$$ $$\sin b>0.$$

Найдём недостающие значения:

$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2},$$

$$\sin b=\sqrt{1-\cos^2 b}=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$

Тогда

$$\sin(a+b)=\frac12\cdot\frac13+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=\frac16+\frac{\sqrt6}{3}=\frac{1+2\sqrt6}{6}.$$

б) Используем формулу разности:

$$\sin(a-b)=\sin a\cdot \cos b-\cos a\cdot \sin b.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то $$\sin a>0,$$ а при $$\pi<b<\frac{3\pi}{2}$$ имеем $$\sin b<0.$$

Найдём синусы:

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-(-0{,}2)^2}=\sqrt{0{,}96}=\frac{2\sqrt6}{5},$$

$$\sin b=-\sqrt{1-\cos^2 b}=-\sqrt{1-(-0{,}1)^2}=-\sqrt{0{,}99}=-\frac{3\sqrt{11}}{10}.$$

Тогда

$$\sin(a-b)=\frac{2\sqrt6}{5}\cdot(-0{,}1)-(-0{,}2)\cdot\left(-\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)$$

$$=-\frac{2\sqrt6}{50}-\frac{3\sqrt{11}}{50}=-\frac{2\sqrt6+3\sqrt{11}}{50}.$$

Ответ

а) $$\frac{1+2\sqrt6}{6}$$; б) $$-\frac{2\sqrt6+3\sqrt{11}}{50}$$.