Упр.634 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

634.
а) sin(а+пи/4)-cos(а+пи/4)
б) 2 cos(а-пи/3)-2 sin(пи/3+а)

Используем формулы суммы и разности углов:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

1. $$\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=$$
   $$=\sin a\cos\frac{\pi}{4}+\cos a\sin\frac{\pi}{4}-\left(\cos a\cos\frac{\pi}{4}-\sin a\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
   $$=\sin a\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\cos a\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\cos a\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\sin a\cdot\frac{\sqrt2}{2}$$
   $$=\sqrt2\,\sin a.$$

2. $$2\cos\left(a-\frac{\pi}{3}\right)-2\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=$$
   $$=2\left(\cos a\cos\frac{\pi}{3}+\sin a\sin\frac{\pi}{3}-\left(\sin\frac{\pi}{3}\cos a+\cos\frac{\pi}{3}\sin a\right)\right)$$
   $$=2\left(\cos a\cdot\frac12+\sin a\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cos a-\frac12\sin a\right)$$
   $$=(1-\sqrt3)\cos a+(\sqrt3-1)\sin a$$
   $$=(1-\sqrt3)(\cos a-\sin a).$$

Ответ

а) $$\sqrt2\,\sin a$$; б) $$(1-\sqrt3)(\cos a-\sin a)$$.