Упр.631 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Воспользуемся формулами сложения и вычитания для синуса и косинуса.

а)

$$\sin(45^\circ+\alpha)=\sin45^\circ\cos\alpha+\cos45^\circ\sin\alpha$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha =\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)$$

$$\cos(45^\circ-\alpha)=\cos45^\circ\cos\alpha+\sin45^\circ\sin\alpha$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha =\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)$$

Следовательно, $$\sin(45^\circ+\alpha)=\cos(45^\circ-\alpha).$$

б)

$$\cos(45^\circ+\alpha)=\cos45^\circ\cos\alpha-\sin45^\circ\sin\alpha$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha =\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)$$

$$\sin(45^\circ-\alpha)=\sin45^\circ\cos\alpha-\cos45^\circ\sin\alpha$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha =\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)$$

Следовательно, $$\cos(45^\circ+\alpha)=\sin(45^\circ-\alpha).$$

Ответ

$$\sin(45^\circ+\alpha)=\cos(45^\circ-\alpha),\qquad \cos(45^\circ+\alpha)=\sin(45^\circ-\alpha).$$