Упр.630 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

630.
а) sin(пи+а)=-sinа
б) sin(пи-а)=sinа
в) sin(3пи/2-а)=-cosа
г) sin(3пи/2+а)=-cosа

1. Докажем равенство $$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha.$$

   Используем формулу суммы:

   $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta.$$

   Тогда

   $$ \sin(\pi+\alpha)=\sin\pi\cdot\cos\alpha+\cos\pi\cdot\sin\alpha =0\cdot\cos\alpha+(-1)\cdot\sin\alpha=-\sin\alpha. $$

2. Докажем равенство $$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha.$$

   Используем формулу разности:

   $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta.$$

   Тогда

   $$ \sin(\pi-\alpha)=\sin\pi\cdot\cos\alpha-\cos\pi\cdot\sin\alpha =0\cdot\cos\alpha-(-1)\cdot\sin\alpha=\sin\alpha. $$

3. Докажем равенство $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha.$$

   По формуле разности:

   $$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) =\sin\frac{3\pi}{2}\cdot\cos\alpha-\cos\frac{3\pi}{2}\cdot\sin\alpha. $$

   Так как $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$$ и $$\cos\frac{3\pi}{2}=0,$$ получаем

   $$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) =(-1)\cdot\cos\alpha-0\cdot\sin\alpha=-\cos\alpha. $$

4. Докажем равенство $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha.$$

   По формуле суммы:

   $$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =\sin\frac{3\pi}{2}\cdot\cos\alpha+\cos\frac{3\pi}{2}\cdot\sin\alpha. $$

   Так как $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$$ и $$\cos\frac{3\pi}{2}=0,$$ то

   $$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =(-1)\cdot\cos\alpha+0\cdot\sin\alpha=-\cos\alpha. $$

Ответ

$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\quad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha.$$