Упр.630 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

630. Докажите справедливость равенства:
     а) $$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$$;
     б) $$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$$;
     в) $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha$$;
     г) $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha$$.

1. Докажем равенство $$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha.$$

   Используем формулу суммы:

   $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta.$$

   Тогда

   $$\sin(\pi+\alpha)=\sin\pi\cdot\cos\alpha+\cos\pi\cdot\sin\alpha =0\cdot\cos\alpha+(-1)\cdot\sin\alpha=-\sin\alpha.$$

2. Докажем равенство $$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha.$$

   Используем формулу разности:

   $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta.$$

   Тогда

   $$\sin(\pi-\alpha)=\sin\pi\cdot\cos\alpha-\cos\pi\cdot\sin\alpha =0\cdot\cos\alpha-(-1)\cdot\sin\alpha=\sin\alpha.$$

3. Докажем равенство $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha.$$

   По формуле разности:

   $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) =\sin\frac{3\pi}{2}\cdot\cos\alpha-\cos\frac{3\pi}{2}\cdot\sin\alpha.$$

   Так как $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$$ и $$\cos\frac{3\pi}{2}=0,$$ получаем

   $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) =(-1)\cdot\cos\alpha-0\cdot\sin\alpha=-\cos\alpha.$$

4. Докажем равенство $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha.$$

   По формуле суммы:

   $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =\sin\frac{3\pi}{2}\cdot\cos\alpha+\cos\frac{3\pi}{2}\cdot\sin\alpha.$$

   Так как $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$$ и $$\cos\frac{3\pi}{2}=0,$$ то

   $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =(-1)\cdot\cos\alpha+0\cdot\sin\alpha=-\cos\alpha.$$

Ответ

$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\quad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha.$$