Упр.623 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. а) Найдите $$\cos(a+b)$$, если $$\cos a=\frac{1}{2}$$, $$\sin b=-\frac{1}{2}$$, $$0 б) Найдите $$\cos(a-b)$$, если $$\sin a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\cos b=-1$$, $$\frac{3\pi}{2}

а) Дано: $$\cos \alpha=\frac12,\quad \sin \beta=-\frac12,\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\quad \pi<\beta<\frac{3\pi}{2}.$$

Найдём недостающие значения:

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2},$$

$$\cos \beta=-\sqrt{1-\sin^2\beta}=-\sqrt{1-\left(-\frac12\right)^2}=-\sqrt{\frac34}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\frac12\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac12\right)=0.$$

Чтобы найти наименьшее по абсолютной величине значение $$\alpha+\beta,$$ определим углы:

$$\alpha=\frac{\pi}{3},\quad \beta=\frac{7\pi}{6},\quad \alpha+\beta=\frac{3\pi}{2}.$$

Значит, наименьшее по абсолютной величине значение $$\alpha+\beta$$ равно $$\frac{\pi}{2}.$$

б) Дано: $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos \beta=-1,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

Найдём недостающие значения:

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2},$$

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-(-1)^2}=0.$$

Тогда

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot(-1)+\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cdot 0=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Определим углы:

$$\alpha=\frac{7\pi}{4},\quad \beta=\pi,\quad \alpha-\beta=\frac{3\pi}{4}.$$

Следовательно, наименьшее по абсолютной величине значение $$\alpha-\beta$$ равно $$\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$0;\ \frac{\pi}{2}$$; б) $$-\frac{\sqrt2}{2};\ \frac{3\pi}{4}$$.