Упр.620 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\cos^2(60^\circ+b)-\cos^2(60^\circ-b)+\cos^2 b$$
б) $$\cos^2\left(a-\frac{\pi}{6}\right)+\cos^2\left(a+\frac{\pi}{6}\right)+\sin^2 a$$

Подробный ответ

а) Используем формулы косинуса суммы и разности:

$$\cos(60^\circ+\beta)=\cos60^\circ\cos\beta-\sin60^\circ\sin\beta,$$
$$\cos(60^\circ-\beta)=\cos60^\circ\cos\beta+\sin60^\circ\sin\beta.$$

Тогда

$$\cos^2(60^\circ+\beta)-\cos^2(60^\circ-\beta)+\cos^2\beta$$
$$=\left(\frac12\cos\beta-\frac{\sqrt3}{2}\sin\beta\right)^2 -\left(\frac12\cos\beta+\frac{\sqrt3}{2}\sin\beta\right)^2+\cos^2\beta.$$

Раскроем скобки:

$$\left(\frac14\cos^2\beta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\beta\sin\beta+\frac34\sin^2\beta\right) -\left(\frac14\cos^2\beta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\beta\sin\beta+\frac34\sin^2\beta\right)+\cos^2\beta$$
$$=\cos^2\beta- \sqrt3\cos\beta\sin\beta+\frac34\sin^2\beta-\frac34\sin^2\beta+\cos^2\beta =0.$$

б) Аналогично, используем формулы косинуса суммы и разности:

$$\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{6}+\sin a\sin\frac{\pi}{6},$$
$$\cos\left(a+\frac{\pi}{6}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{6}-\sin a\sin\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\cos^2\left(a-\frac{\pi}{6}\right)+\cos^2\left(a+\frac{\pi}{6}\right)+\sin^2 a$$
$$=\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a\right)^2 +\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos a-\frac12\sin a\right)^2+\sin^2 a.$$

Раскроем скобки:

$$\left(\frac34\cos^2 a+\frac{\sqrt3}{2}\cos a\sin a+\frac14\sin^2 a\right) +\left(\frac34\cos^2 a-\frac{\sqrt3}{2}\cos a\sin a+\frac14\sin^2 a\right)+\sin^2 a$$
$$=\frac32\cos^2 a+\frac32\sin^2 a =\frac32(\cos^2 a+\sin^2 a) =\frac32.$$