Упр.62 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) число 1 является решением системы неравенств
б) число 1 не является решением системы неравенств
в) число 3 является решением системы неравенств, а число б не является решением этой системы?

а) Проверим, при каких значениях $$a$$ число $$1$$ является решением системы:

$$ \begin{cases} 3ax+2>6x-a,\\ 2ax-3<4x+5a. \end{cases} $$

Подставим $$x=1$$:

$$ \begin{cases} 3a+2>6-a,\\ 2a-3<4+5a. \end{cases} $$

Решим неравенства:

$$ \begin{cases} 4a>4,\\ -3a<7. \end{cases} $$

Отсюда

$$ \begin{cases} a>1,\\ a>-\dfrac{7}{3}. \end{cases} $$

Оба условия выполняются при $$a>1$$.

б) Число $$1$$ не является решением системы

$$ \begin{cases} 2x>5-a,\\ x<3a-4. \end{cases} $$

Подставим $$x=1$$:

$$ \begin{cases} 2>5-a,\\ 1<3a-4. \end{cases} $$

Получаем:

$$ \begin{cases} a>3,\\ a>\dfrac{5}{3}. \end{cases} $$

Значит, число $$1$$ является решением при $$a>3$$. Тогда не является решением при $$a\le 3$$.

в) Проверим, при каких значениях $$a$$ число $$3$$ является решением системы, а число $$6$$ не является решением:

$$ \begin{cases} x-4a>2,\\ 2x-3a<15. \end{cases} $$

Для $$x=3$$:

$$ \begin{cases} 3-4a>2,\\ 6-3a<15. \end{cases} $$

Решаем:

$$ \begin{cases} -a>-\dfrac{1}{4},\\ -3a<9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a<\dfrac{1}{4},\\ a>-3. \end{cases} $$

Значит, $$3$$ является решением при $$a\in(-3;\dfrac{1}{4})$$.

Для $$x=6$$:

$$ \begin{cases} 6-4a>2,\\ 12-3a<15. \end{cases} $$

Чтобы $$6$$ не было решением, нужно, чтобы хотя бы одно из неравенств не выполнялось. Получаем:

$$ \begin{cases} 6-4a\le 2 \quad \text{или} \quad 12-3a\ge 15. \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} a\ge 1 \quad \text{или} \quad a\le -1. \end{cases} $$

Пересекаем с условием для числа $$3$$:

$$ a\in(-3;\tfrac{1}{4})\cap\bigl((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\bigr)=(-3;-1]. $$

Ответ

а) $$a\in(1;+\infty)$$; б) $$a\in(-\infty;3]$$; в) $$a\in(-3;-1]$$.