Упр.618 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) cos 75° + cos 15°; б) cos пи/12 — cos 5пи/12

а) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos 75^\circ+\cos 15^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)+\cos(45^\circ-30^\circ).$$

Тогда

$$ \cos(45^\circ+30^\circ)+\cos(45^\circ-30^\circ)= (\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ)+(\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ). $$

Слагаемые с синусами сокращаются:

$$ =2\cos45^\circ\cos30^\circ =2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt6}{2}. $$

б) Преобразуем выражение с помощью формулы разности косинусов:

$$ \cos\frac{\pi}{12}-\cos\frac{5\pi}{12} =\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right). $$

Раскроем косинусы суммы и разности:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) = \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\right) — \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\right). $$

Получаем:

$$ =2\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} =2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac12 =\frac{\sqrt2}{2}. $$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt6}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.