Упр.617 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

617.
а) cos3пи/4
б) cosпи/12
в) cos7пи/12
г) cos11пи/12

Воспользуемся формулами косинуса разности и суммы:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

1. $$\cos\frac{3\pi}{4}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\pi\cos\frac{\pi}{4}+\sin\pi\sin\frac{\pi}{4}$$
   $$=-1\cdot\frac{\sqrt2}{2}+0\cdot\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

2. $$\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}$$
   $$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

3. $$\cos\frac{7\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$$
   $$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.$$

4. $$\cos\frac{11\pi}{12}=\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$$
   $$=-\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.$$

Ответ

$$\text{а) }-\frac{\sqrt2}{2},\quad \text{б) }\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\quad \text{в) }\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4},\quad \text{г) }-\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.$$