Упр.615 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) (cos2° cos28°-sin28° sin2°)/(cos47° cos2°+sin47°sin2°)
б) (sin2пи/5•sin3пи/5-cos2пи/5•cos3пи/5)/(sinпи/8•sin7пи/8-cosпи/8•cos7пи/8)

Подробный ответ

а) Используем формулу косинуса суммы:

$$ \cos 2^\circ \cos 28^\circ — \sin 28^\circ \sin 2^\circ = \cos(2^\circ+28^\circ)=\cos 30^\circ $$

$$ \cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ = \cos(47^\circ-2^\circ)=\cos 45^\circ $$

Тогда

$$ \frac{\cos 2^\circ \cos 28^\circ — \sin 28^\circ \sin 2^\circ}{\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ} = \frac{\cos 30^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}. $$

б) Преобразуем числитель и знаменатель по формулам:

$$ \sin \frac{2\pi}{5}\sin \frac{3\pi}{5}-\cos \frac{2\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5} = -\left(\cos \frac{2\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5}-\sin \frac{2\pi}{5}\sin \frac{3\pi}{5}\right) = -\cos \left(\frac{2\pi}{5}+\frac{3\pi}{5}\right) = -\cos \pi $$

$$ \sin \frac{\pi}{8}\sin \frac{7\pi}{8}-\cos \frac{\pi}{8}\cos \frac{7\pi}{8} = -\left(\cos \frac{\pi}{8}\cos \frac{7\pi}{8}-\sin \frac{\pi}{8}\sin \frac{7\pi}{8}\right) = -\cos \left(\frac{\pi}{8}+\frac{7\pi}{8}\right) = -\cos \pi $$

Следовательно,

$$ \frac{\sin \frac{2\pi}{5}\sin \frac{3\pi}{5}-\cos \frac{2\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{8}\sin \frac{7\pi}{8}-\cos \frac{\pi}{8}\cos \frac{7\pi}{8}} = \frac{-\cos \pi}{-\cos \pi} =1. $$