Упр.615 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Вычислите:
а) $$\frac{\cos 2^\circ\cos 28^\circ-\sin 28^\circ\sin 2^\circ}{\cos 47^\circ\cos 2^\circ+\sin 47^\circ\sin 2^\circ}$$
б) $$\frac{\sin\frac{2\pi}{5}\cdot\sin\frac{3\pi}{5}-\cos\frac{2\pi}{5}\cdot\cos\frac{3\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{8}\cdot\sin\frac{7\pi}{8}-\cos\frac{\pi}{8}\cdot\cos\frac{7\pi}{8}}$$
а) Используем формулу косинуса суммы:
$$\cos 2^\circ \cos 28^\circ — \sin 28^\circ \sin 2^\circ = \cos(2^\circ+28^\circ)=\cos 30^\circ$$
$$\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ = \cos(47^\circ-2^\circ)=\cos 45^\circ$$
Тогда
$$\frac{\cos 2^\circ \cos 28^\circ — \sin 28^\circ \sin 2^\circ}{\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ} = \frac{\cos 30^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}.$$
б) Преобразуем числитель и знаменатель по формулам:
$$\sin \frac{2\pi}{5}\sin \frac{3\pi}{5}-\cos \frac{2\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5} = -\left(\cos \frac{2\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5}-\sin \frac{2\pi}{5}\sin \frac{3\pi}{5}\right) = -\cos \left(\frac{2\pi}{5}+\frac{3\pi}{5}\right) = -\cos \pi$$
$$\sin \frac{\pi}{8}\sin \frac{7\pi}{8}-\cos \frac{\pi}{8}\cos \frac{7\pi}{8} = -\left(\cos \frac{\pi}{8}\cos \frac{7\pi}{8}-\sin \frac{\pi}{8}\sin \frac{7\pi}{8}\right) = -\cos \left(\frac{\pi}{8}+\frac{7\pi}{8}\right) = -\cos \pi$$
Следовательно,
$$\frac{\sin \frac{2\pi}{5}\sin \frac{3\pi}{5}-\cos \frac{2\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{8}\sin \frac{7\pi}{8}-\cos \frac{\pi}{8}\cos \frac{7\pi}{8}} = \frac{-\cos \pi}{-\cos \pi} =1.$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$; б) $$1$$.
