Упр.606 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) $$\frac{1-\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^4\alpha-2\sin^2\alpha+1}$$

б) $$\frac{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{1+\sin\alpha\cdot\cos\alpha}$$

а) Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулу $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$:

$$\frac{1-\cos^4 a-\sin^4 a}{\sin^4 a-2\sin^2 a+1} = \frac{(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-\cos^4 a-\sin^4 a}{(\sin^2 a-1)^2}$$

$$= \frac{\sin^4 a+2\sin^2 a\cos^2 a+\cos^4 a-\cos^4 a-\sin^4 a}{(\sin^2 a-\sin^2 a-\cos^2 a)^2} = \frac{2\sin^2 a\cos^2 a}{\cos^4 a}$$

$$= \frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a} = 2\tg^2 a$$

б) Разложим числитель на множители:

$$\frac{\cos^3 a-\sin^3 a}{1+\sin a\cos a} = \frac{(\cos a-\sin a)(\cos^2 a+\sin a\cos a+\sin^2 a)}{1+\sin a\cos a}$$

Так как $$\cos^2 a+\sin^2 a=1$$, получаем:

$$\frac{(\cos a-\sin a)(1+\sin a\cos a)}{1+\sin a\cos a} = \cos a-\sin a$$

Ответ

а) $$2\tg^2 a$$; б) $$\cos a-\sin a$$.