Упр.604 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Упростите выражение (604—606):

604. а) $$\frac{\operatorname{tg}(a+\pi)-\operatorname{tg}(b+2\pi)}{\operatorname{ctg}(-b)-\operatorname{ctg}(-a)}$$

     б) $$\frac{\operatorname{ctg}(\pi-a)+\operatorname{tg}(-a)}{\operatorname{ctg}(a+3\pi)-\operatorname{tg}(a+2\pi)}$$

Используем формулы приведения и основные тригонометрические тождества:

$$\tg(\alpha+\pi)=\tg\alpha,\quad \tg(\beta+2\pi)=\tg\beta,\quad \ctg(-x)=-\ctg x,\quad \tg(-x)=-\tg x,$$
$$\ctg(\pi-\alpha)=-\ctg\alpha,\quad \ctg(\alpha+3\pi)=\ctg\alpha,\quad \tg(\alpha+2\pi)=\tg\alpha.$$

а)

$$\frac{\tg(\alpha+\pi)-\tg(\beta+2\pi)}{\ctg(-\beta)-\ctg(-\alpha)} = \frac{\tg\alpha-\tg\beta}{-\ctg\beta+\ctg\alpha} = \frac{\tg\alpha-\tg\beta}{\ctg\alpha-\ctg\beta}.$$

Заменим котангенсы через тангенсы:

$$\ctg\alpha-\ctg\beta=\frac{1}{\tg\alpha}-\frac{1}{\tg\beta} =\frac{\tg\beta-\tg\alpha}{\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

Тогда

$$\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{\ctg\alpha-\ctg\beta} = \frac{\tg\alpha-\tg\beta}{\frac{\tg\beta-\tg\alpha}{\tg\alpha\cdot\tg\beta}} = (\tg\alpha-\tg\beta)\cdot\frac{\tg\alpha\cdot\tg\beta}{\tg\beta-\tg\alpha} = -\tg\alpha\cdot\tg\beta.$$

б)

$$\frac{\ctg(\pi-\alpha)+\tg(-\alpha)}{\ctg(\alpha+3\pi)-\tg(\alpha+2\pi)} = \frac{-\ctg\alpha-\tg\alpha}{\ctg\alpha-\tg\alpha} = -\frac{\ctg\alpha+\tg\alpha}{\ctg\alpha-\tg\alpha}.$$

Преобразуем дробь:

$$\ctg\alpha+\tg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha},$$
$$\ctg\alpha-\tg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}.$$

Тогда

$$-\frac{\ctg\alpha+\tg\alpha}{\ctg\alpha-\tg\alpha} = -\frac{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}} = -\frac{1}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}.$$

Ответ

а) $$-\tg\alpha\cdot\tg\beta$$;
б) $$\frac{1}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$$.