Упр.603 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Докажите справедливость равенства:
   а) $$\frac{\cos a}{1+\sin a}=\frac{1-\sin a}{\cos a}$$; $$a\ne\frac{\pi}{2}+\pi k$$, где $$k$$ — некоторое целое число.
   б) $$\frac{\cos b+\operatorname{ctg} b}{\operatorname{ctg} b}=1+\sin b$$; $$b\ne\pi k$$, где $$k$$ — некоторое целое число.

а) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\cos a}{1+\sin a} = \frac{\cos a(1-\sin a)}{(1+\sin a)(1-\sin a)} = \frac{\cos a(1-\sin a)}{1-\sin^2 a}$$

Так как $$1-\sin^2 a=\cos^2 a,$$ получаем:

$$\frac{\cos a(1-\sin a)}{\cos^2 a} = \frac{1-\sin a}{\cos a}$$

Следовательно,

$$\frac{\cos a}{1+\sin a}=\frac{1-\sin a}{\cos a}.$$

Равенство доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\cos \beta+\ctg \beta}{\ctg \beta} = \frac{\cos \beta}{\ctg \beta}+\frac{\ctg \beta}{\ctg \beta}$$

$$= \frac{\cos \beta}{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}+1 = \sin \beta+1$$

Значит,

$$\frac{\cos \beta+\ctg \beta}{\ctg \beta}=1+\sin \beta.$$

Равенство доказано.

Ответ

а) $$\frac{\cos a}{1+\sin a}=\frac{1-\sin a}{\cos a}$$;
б) $$\frac{\cos \beta+\ctg \beta}{\ctg \beta}=1+\sin \beta$$.