Упр.602 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- а) $$\frac{1-\sin^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}\cdot\tg\alpha\cdot\ctg\alpha$$
б) $$\frac{\tg\alpha}{\tg\alpha\cdot\ctg\alpha+\tg^2\alpha}$$
в) $$\sin^2\beta+\tg^2\left(\beta-\frac{1}{\cos^2\beta}\right)$$
г) $$\frac{1}{\sin^2\alpha}-\ctg^2\alpha-\cos^2\alpha$$
д) $$\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}+\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$$
е) $$\frac{\cos\beta}{1-\sin\beta}+\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta}$$
а) $$\frac{1-\sin^2 a}{1-\cos^2 a}+\tg a\cdot \ctg a$$
Используем формулы $$1-\sin^2 a=\cos^2 a$$ и $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$, а также $$\tg a\cdot \ctg a=1$$:
$$\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}+1=\ctg^2 a+1=\frac{1}{\sin^2 a}$$
б) $$\frac{\tg a}{\tg a\cdot \ctg a+\tg^2 a}$$
Так как $$\tg a\cdot \ctg a=1$$, получаем:
$$\frac{\tg a}{1+\tg^2 a}$$
По формуле $$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}$$:
$$\frac{\tg a}{1+\tg^2 a}=\tg a\cdot \cos^2 a=\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \cos^2 a=\sin a\cdot \cos a$$
в) $$\sin^2 b+\tg^2 b-\frac{1}{\cos^2 b}$$
Используем формулу $$\frac{1}{\cos^2 b}=1+\tg^2 b$$:
$$\sin^2 b+\tg^2 b-\left(1+\tg^2 b\right)=\sin^2 b-1$$
Так как $$\sin^2 b+\cos^2 b=1$$, то
$$\sin^2 b-1=-\cos^2 b$$
г) $$\frac{1}{\sin^2 a}-\ctg^2 a-\cos^2 a$$
По формуле $$\frac{1}{\sin^2 a}=1+\ctg^2 a$$:
$$1+\ctg^2 a-\ctg^2 a-\cos^2 a=1-\cos^2 a=\sin^2 a$$
д) $$\frac{\sin a}{1-\cos a}+\frac{\sin a}{1+\cos a}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\sin a(1+\cos a)+\sin a(1-\cos a)}{(1-\cos a)(1+\cos a)}$$
$$\frac{\sin a+\sin a\cos a+\sin a-\sin a\cos a}{1-\cos^2 a}=\frac{2\sin a}{\sin^2 a}=\frac{2}{\sin a}$$
е) $$\frac{\cos b}{1-\sin b}+\frac{\cos b}{1+\sin b}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\cos b(1+\sin b)+\cos b(1-\sin b)}{(1-\sin b)(1+\sin b)}$$
$$\frac{\cos b+\cos b\sin b+\cos b-\cos b\sin b}{1-\sin^2 b}=\frac{2\cos b}{\cos^2 b}=\frac{2}{\cos b}$$
Ответ
а) $$\frac{1}{\sin^2 a}$$; б) $$\sin a\cdot \cos a$$; в) $$-\cos^2 b$$; г) $$\sin^2 a$$; д) $$\frac{2}{\sin a}$$; е) $$\frac{2}{\cos b}$$
