Упр.601 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- а) $$\sin b \cdot \operatorname{ctg} b$$
- б) $$\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a$$
- в) $$\sin b : \operatorname{tg} b$$
- г) $$\cos a \cdot \operatorname{tg} a$$
- д) $$\cos a \cdot (1+\operatorname{tg}^2 a)$$
- е) $$1-\sin^2 a+\operatorname{ctg}^2 a \cdot \sin^2 a$$
- ж) $$\frac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{\operatorname{ctg} a+\operatorname{ctg} b}$$
- з) $$\frac{\cos^2 a-\operatorname{ctg}^2 a}{\sin^2 a-\operatorname{tg}^2 a}$$
а) $$\sin \beta \cdot \ctg \beta=\sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}=\cos \beta.$$
б) $$\tg \alpha \cdot \ctg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=1.$$
в) $$\sin \beta : \tg \beta=\sin \beta : \frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\cos \beta.$$
г) $$\cos \alpha \cdot \tg \alpha=\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\sin \alpha.$$
д) $$\cos \alpha \cdot (1+\tg^2 \alpha)=\cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha}.$$
е) $$1-\sin^2 \alpha+\ctg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha=(\cos^2 \alpha)+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\cdot \sin^2 \alpha=2\cos^2 \alpha.$$
ж) $$\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{\ctg \alpha+\ctg \beta}=\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}.$$
Приведём к общим знаменателям:
$$\frac{\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}:\frac{\cos \alpha \sin \beta+\cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta}.$$
Так как числители одинаковы, получаем:
$$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}=\tg \alpha \cdot \tg \beta.$$
з) $$\frac{\cos^2 \alpha-\ctg^2 \alpha}{\sin^2 \alpha-\tg^2 \alpha}=\frac{\cos^2 \alpha-\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\sin^2 \alpha-\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}.$$
Приведём к общим знаменателям:
$$\frac{\frac{\cos^2 \alpha(\sin^2 \alpha-1)}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha(\cos^2 \alpha-1)}{\cos^2 \alpha}}.$$
Используем формулы $$\sin^2 \alpha-1=-\cos^2 \alpha$$ и $$\cos^2 \alpha-1=-\sin^2 \alpha$$:
$$\frac{\frac{-\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{-\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}=\frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha}=\ctg^6 \alpha.$$
Ответ
а) $$\cos \beta$$; б) $$1$$; в) $$\cos \beta$$; г) $$\sin \alpha$$; д) $$\frac{1}{\cos \alpha}$$; е) $$2\cos^2 \alpha$$; ж) $$\tg \alpha \cdot \tg \beta$$; з) $$\ctg^6 \alpha$$.
