Упр.601 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) sinb•ctgb
б) tga•ctga
в) sinb:tgb
г) cosa•tga
д) cosa•(1+tg^2a)
е) 1- sin^2a+ctg^2a•sin^2a
ж) (tga+tgb)/(ctga+ctgb)
з) (cos^2a-ctg^2a)/(sin^2a-tg^2a )

1. а) $$\sin \beta \cdot \ctg \beta=\sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}=\cos \beta.$$

2. б) $$\tg \alpha \cdot \ctg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=1.$$

3. в) $$\sin \beta : \tg \beta=\sin \beta : \frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\cos \beta.$$

4. г) $$\cos \alpha \cdot \tg \alpha=\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\sin \alpha.$$

5. д) $$\cos \alpha \cdot (1+\tg^2 \alpha)=\cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha}.$$

6. е) $$1-\sin^2 \alpha+\ctg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha=(\cos^2 \alpha)+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\cdot \sin^2 \alpha=2\cos^2 \alpha.$$

7. ж) $$\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{\ctg \alpha+\ctg \beta}=\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}.$$

   Приведём к общим знаменателям:

   $$\frac{\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}:\frac{\cos \alpha \sin \beta+\cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta}.$$

   Так как числители одинаковы, получаем:

   $$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}=\tg \alpha \cdot \tg \beta.$$

8. з) $$\frac{\cos^2 \alpha-\ctg^2 \alpha}{\sin^2 \alpha-\tg^2 \alpha}=\frac{\cos^2 \alpha-\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\sin^2 \alpha-\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}.$$

   Приведём к общим знаменателям:

   $$\frac{\frac{\cos^2 \alpha(\sin^2 \alpha-1)}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha(\cos^2 \alpha-1)}{\cos^2 \alpha}}.$$

   Используем формулы $$\sin^2 \alpha-1=-\cos^2 \alpha$$ и $$\cos^2 \alpha-1=-\sin^2 \alpha$$:

   $$\frac{\frac{-\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{-\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}=\frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha}=\ctg^6 \alpha.$$

Ответ

а) $$\cos \beta$$; б) $$1$$; в) $$\cos \beta$$; г) $$\sin \alpha$$; д) $$\frac{1}{\cos \alpha}$$; е) $$2\cos^2 \alpha$$; ж) $$\tg \alpha \cdot \tg \beta$$; з) $$\ctg^6 \alpha$$.